Гиперсовершенное число

Гиперсовершенное число — k-гиперсовершенное число для некоторого целого k. k-гиперсовершенное число — натуральное число n, для которого верно

где σ(n) — это функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа).

Гиперсовершенные числа — обобщение совершенных чисел, которые являются 1-гиперсовершенными.

Первые члены последовательности гиперсовершенных чисел это 6, 21, 28, 301, 325, 496, 697, … (последовательность A034897 в OEIS), с соответствующими значениями k 1, 2, 1, 6, 3, 1, 12, … (последовательность A034898 в OEIS). Первые гиперсовершенные числа, которые не являются совершенными — 21, 301, 325, 697, 1333, … (последовательность A007592 в OEIS).

Список гиперсовершенных чиселПравить

Следующая таблица приводит некоторые последовательности k-гиперсовершенных чисел для некоторых k.

k OEIS Некоторые известные числа
1 A000396 6, 28, 496, 8128, 33550336, …
2 A007593 21, 2133, 19521, 176661, 129127041, …
3 325, …
4 1950625, 1220640625, …
6 A028499 301, 16513, 60110701, 1977225901, …
10 159841, …
11 10693, …
12 A028500 697, 2041, 1570153, 62722153, 10604156641, 13544168521, …
18 A028501 1333, 1909, 2469601, 893748277, …
19 51301, …
30 3901, 28600321, …
31 214273, …
35 306181, …
40 115788961, …
48 26977, 9560844577, …
59 1433701, …
60 24601, …
66 296341, …
75 2924101, …
78 486877, …
91 5199013, …
100 10509080401, …
108 275833, …
126 12161963773, …
132 96361, 130153, 495529, …
136 156276648817, …
138 46727970517, 51886178401, …
140 1118457481, …
168 250321, …
174 7744461466717, …
180 12211188308281, …
190 1167773821, …
192 163201, 137008036993, …
198 1564317613, …
206 626946794653, 54114833564509, …
222 348231627849277, …
228 391854937, 102744892633, 3710434289467, …
252 389593, 1218260233, …
276 72315968283289, …
282 8898807853477, …
296 444574821937, …
342 542413, 26199602893, …
348 66239465233897, …
350 140460782701, …
360 23911458481, …
366 808861, …
372 2469439417, …
396 8432772615433, …
402 8942902453, 813535908179653, …
408 1238906223697, …
414 8062678298557, …
430 124528653669661, …
438 6287557453, …
480 1324790832961, …
522 723378252872773, 106049331638192773, …
546 211125067071829, …
570 1345711391461, 5810517340434661, …
660 13786783637881, …
672 142718568339485377, …
684 154643791177, …
774 8695993590900027, …
810 5646270598021, …
814 31571188513, …
816 31571188513, …
820 1119337766869561, …
968 52335185632753, …
972 289085338292617, …
978 60246544949557, …
1050 64169172901, …
1410 80293806421, …
2772 A028502 95295817, 124035913, …
3918 61442077, 217033693, 12059549149, 60174845917, …
9222 404458477, 3426618541, 8983131757, 13027827181, …
9828 432373033, 2797540201, 3777981481, 13197765673, …
14280 848374801, 2324355601, 4390957201, 16498569361, …
23730 2288948341, 3102982261, 6861054901, 30897836341, …
31752 A034916 4660241041, 7220722321, 12994506001, 52929885457, 60771359377, …
55848 15166641361, 44783952721, 67623550801, …
67782 18407557741, 18444431149, 34939858669, …
92568 50611924273, 64781493169, 84213367729, …
100932 50969246953, 53192980777, 82145123113, …

Можно доказать, что если k > 1 это нечетное целое число, а p = (3k + 1) / 2 и q = 3k + 4 — простые числа, тогда p²q k-гиперсовершенное; В 2000 году Джадсон С. Маккрани предположил, что все k-гиперсовершенные числа для нечетного k > 1 имеют такую форму, но эта гипотеза пока не доказана. Кроме того, можно доказать, что если p ≠ q — нечетные простые числа, а k — целое число, такое, что k (p + q) = pq — 1, то pq k-гиперсовершенное.

Можно также показать, что если k>0 и p = k + 1 просто, то для всех i>1 таких, что   — простое,   является k-гиперсовершенным.

В следующей таблице перечислены известные значения k и соответствующие значения i, для которых n является k-гиперсовершенным:

k OEIS Значения i
16 A034922 11, 21, 127, 149, 469, …
22 17, 61, 445, …
28 33, 89, 101, …
36 67, 95, 341, …
42 A034923 4, 6, 42, 64, 65, …
46 A034924 5, 11, 13, 53, 115, …
52 21, 173, …
58 11, 117, …
72 21, 49, …
88 A034925 9, 41, 51, 109, 483, …
96 6, 11, 34, …
100 A034926 3, 7, 9, 19, 29, 99, 145, …

ГипердефицитностьПравить

Недавно введенная математическая концепция гипернедостаточных чисел связана с гиперсовершенными числами.

Определение (Миноли 2010): Для любого целого числа n и для целого k, -∞ <k <∞ определим k-гипердефицитность (или просто гипердефицитность) как

   δk(n) = n(k+1) +(k-1) –kσ(n)

Число n называется k-гипернедостаточным, если δk(n) > 0.

Заметим, что при k = 1 получается δ1(n) = 2n-σ(n), что является стандартным традиционным определением недостаточного числа.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1) тогда и только тогда, когда k-гипердефицитность n, δk(n) = 0.

Лемма: число n является k-гиперсовершенным (включая k = 1), тогда и только тогда, когда для некоторого k, δk-j(n) = -δk + j(n) для хотя бы одного j>0.

СсылкиПравить

  • Handbook of number theory I (неопр.) / Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav. — Dordrecht: Springer-Verlag, 2006. — С. 114. — ISBN 1-4020-4215-9.

Дальнейшее чтениеПравить

СтатьиПравить

КнигиПравить

  • Daniel Minoli, Voice over MPLS, McGraw-Hill, New York, NY, 2002, ISBN 0-07-140615-8 (p. 114—134)

СсылкиПравить