Гиперфункция (математика)

Гиперфункция (математика) — развитие понятия обобщённой функции. Гиперфункция одной переменной является разностью предельных значений на вещественной оси двух голоморфных функций, определённых, соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной плоскости. Гиперфункции многих переменных определены как элементы некоторой когомологической группы с коэффициентами в пучке голоморфных функций. Гиперфункции были открыты Микио Сато в 1958 году.

Гиперфункция одной переменной

Гиперфункция одной переменной может рассматриваться как разность на вещественной оси между одной голоморфной функцией $f$, определённой на верхней комплексной полуплоскости, и другой $g$, определённой на нижней комплексной полуплоскости - $(f,g)$. Гиперфункция одной переменной определяется лишь разностью двух функций $f-g$ на вещественной оси и не изменяется при добавлении к $f$ и $g$ одной и той же голоморфной на всей комплексной плоскости функции $h$, так что гиперфункции $(f,g)$ и $(f+h,g+h)$определяются как эквивалентные.

Гиперфункция многих переменных

Пусть $B'$ - предпучок в $R^{n}$, определённый следующим образом: если $\Omega$ не ограничено, то $B'(\Omega )=\left\{0\right\}$; если $\Omega$ ограничено, то $B'(\Omega )=B(\Omega )$; Ограничения $B'(\Omega )\rightarrow B'(\omega )$ определены так: $0\rightarrow 0$, если $\Omega$ не ограничено, $T\rightarrow T|\omega$, если $\Omega$ ограничено. Пучком гиперфункций на $R^{n}$ называется пучок $B$, ассоциированный с передпучком $B'$.

Гиперфункция на $\Omega$ определяется: покрытием $\Omega =\bigcup _{i\in I}\Omega _{i}$, где $\Omega _{i}$ открыты и ограничены; и элементами $T_{i}\in B(\Omega _{i})$, для которых $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}=T_{j}|\Omega _{i}\cap \Omega _{j}$.

Два таких набора $(\Omega _{i},T_{i}),i\in I$ и $(\Omega _{i'},T_{i'}),i'\in I'$ определяют одну и ту же гиперфункцию, если $T_{i}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'}=T_{i'}|\Omega _{i}\cap \Omega _{i'},\forall i\in I,i'\in I'$

Примеры

• Для всякой голоморфной на всей комплексной плоскости функции f гиперфункцией является её значения на вещественной оси, представимые в виде $(f,0)$ или $(0,-f)$.
• Функция Хевисайда может быть представлена как гиперфункция:

$H(x)=\left({\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z),{\tfrac {1}{2\pi i}}\log(z)-1\right).$

• Дельта-функция Дирака может быть представлена как гиперфункция:

$\left({\tfrac {1}{2\pi iz}},{\tfrac {1}{2\pi iz}}\right).$

Операции над гиперфункциями

• Умножение на аналитическую функцию. Пусть $f\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$ - аналитическая функция, $u\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ - аналитический функционал. Тогда произведение $fu\in {\mathfrak {A'}}(\Omega )$ определено формулой $\langle fu,g\rangle =\langle u,fg\rangle ,\forall g\in {\mathfrak {A}}(\Omega )$.

Гиперфункцию $fT$ определяет последовательность $f{\overline {T_{n}}}|\Omega _{n}$

• Свертка. Пусть $u\in H'(C^{n})$ - голоморфный функционал , $f\in H(C^{n})$ - голоморфная функция с топологией. Тогда свёртка $u*f\in H(C^{n})$ определяется формулой $(u*f)(z)=\langle u_{\xi },f(z-\xi )\rangle$. Гиперфункцию $u*T$ определяет последовательность $(u*T_{n})|\Omega _{n-p}$

См. также

• Обобщенная функция

Литература

• Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. — М.: Мир, 1965. — 379 с.
• Шапира П. Теория гиперфункций. — М.: Мир, 1972. — 141 с.
• Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Том I. Теория распределений и анализ Фурье. — М.: Мир, 1986. — 462 с.