Гипотеза Зейферта

Гипотеза Зейферта — Опровергнутая гипотеза о векторных полях на трёхмерной сфере.

Формулировка

Верно ли, что у любого векторного поля без особых точек на трёхмерной сфере найдётся периодическая траектория?

История

В своей работе 1950 года Герберт Зейферт доказал^[1], что периодическими траекториями обладают $C^{1}$ -гладкие векторные поля, близкие к единичному касательному полю к расслоению Хопфа; это утверждение получило название теоремы Зейферта. Там же он задал вопрос о том, у любого ли неособого поля на трёхмерной сфере (пусть даже далёкого от поля Хопфа) найдётся такая траектория. Долгое время считалось^[2], что ответ на этот вопрос будет положительным (и эта формулировка получила имя «гипотезы Зейферта»), пока в 1974 году Швейцером не был построен $C^{1}$ -гладкий контрпример^[3] (основанный на тех же идеях, что и пример Данжуа).

В 1988 году Дженни Харрисон^[4] улучшила пример Швейцера, добившись гладкости $C^{2+\delta }$ , однако её техника не позволяла^[2] достичь гладкости $C^{3}$ . Существование более гладких контрпримеров оставалось неизвестным до 1993 года, когда Кристина Куперберг, используя технику ловушек, не построила $C^{\infty }$ -гладкий контрпример (пример Куперберг)^[5].

Примечания

↑ H. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302.
↑ ¹ ² K. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine. Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040.
↑ P. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400.
↑ J. Harrison, $C^{2}$ counterexamples to the Seifert conjecture, Topology 27 (1988), no. 3, 249--278.
↑ K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732.

Внешние ссылки

Weisstein, Eric W. Seifert Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Литература

V. Ginzburg and B. Gürel, A $C^{2}$ -smooth counterexample to the Hamiltonian Seifert conjecture in $R^{4}$ (недоступная ссылка), Ann. of Math. (2) 158 (2003), no. 3, 953--976
G. Kuperberg A volume-preserving counterexample to the Seifert conjecture, Comment. Math. Helv. 71 (1996), no. 1, 70--97.
G. Kuperberg and K. Kuperberg, Generalized counterexamples to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 143 (1996), no. 3, 547--576.

[1] H. Seifert, Closed integral curves in 3-space and isotopic two-dimensional deformations, Proc. Amer. Math. Soc. 1, (1950). 287--302.

[KK-AMS-2] ¹ ² K. Kuperberg, Aperiodic dynamical systems Архивная копия от 5 июня 2011 на Wayback Machine. Notices Amer. Math. Soc. 46 (1999), no. 9, 1035--1040.

[3] P. A. Schweitzer, Counterexamples to the Seifert conjecture and opening closed leaves of foliations, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 386--400.

[4] J. Harrison, $C^{2}$ counterexamples to the Seifert conjecture, Topology 27 (1988), no. 3, 249--278.

[5] K. Kuperberg A smooth counterexample to the Seifert conjecture, Ann. of Math. (2) 140 (1994), no. 3, 723--732.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]