Гипотеза Фирузбэхт

Гипотеза Фирузбэхт — это гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фариды Фирузбэхт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Функция промежутков между простыми числами

Утверждение гипотезы

Гипотеза утверждает, что $p_{n}^{1/n}$ (где $p_{n}$ — n-е простое число) является строго убывающей функцией от n, т. е.

${\sqrt[{n+1}]{p_{n+1}}}<{\sqrt[{n}]{p_{n}}}$ для всех $n\geqslant 1.$

Эквивалентно:

$p_{n+1}<p_{n}^{1+{\frac {1}{n}}}$ для всех $n\geqslant 1,$

см. последовательности A182134, A246782.

Подтверждение гипотезы

Используя таблицу максимальных интервалов, Фарида Фирузбэхт проверила свою гипотезу до 4,444⋅10¹². С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до $10^{19}$.

Связь с другими гипотезами

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами $g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ должна удовлетворять неравенству

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}$ для всех $n>4.$

Более того,

$g_{n}<(\log p_{n})^{2}-\log p_{n}-1$ для всех $n>9,$

см. также последовательность A111943. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и Шенкса. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца и Майера, в которой предполагается, что

$g_{n}>{\frac {2-\varepsilon }{e^{\gamma }}}(\log p_{n})^{2}$

встречается бесконечно много раз для любого $\varepsilon >0,$ где $\gamma$ означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности A182514)

$\left({\frac {\log p_{n+1}}{\log p_{n}}}\right)^{n}<e,$

которая несколько слабее, и

$\left({\frac {p_{n+1}}{p_{n}}}\right)^{n}<n\log n$ для всех $n>5,$

которая сильнее.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел

Ссылки

• Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition (англ.). — Birkhauser, 1985. — ISBN 3-7643-3291-3.