Группа автоморфизмов свободной группы

Группа автоморфизмов свободной группы — группа, образованная всеми групповыми автоморфизмами некоторой свободной группы $F_{n}$ конечного ранга $n$ относительно операции композиции. Является одним из центральных объектов изучения комбинаторной теории групп и обозначается символом ${\rm {Aut}}(F_{n})$.

Преобразования Нильсена

Пусть $F_{n}$ — свободная группа с базисом $\{x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}$. Элементарными преобразованиями Нильсена называются автоморфизмы группы $F_{n}$ следующих типов:

• обмен некоторой пары образующих $x_{i}$ и $x_{j}$ местами;
• замена одной из образующих $x_{i}$ на обратную $x_{i}^{-1}$;
• замена одной из образующих $x_{i}$ на произведение $x_{i}x_{j}$, где $i\neq j$.

Данные автоморфизмы порождают группу ${\rm {Aut}}(F_{n})$.

Роль в теории кос

Автоморфизм $\varphi$ свободной группы $F_{n}$ называется сплета́ющим (или косо́вым), если он удовлетворяет следующим условиям:

• найдется такая биекция $\mu \colon \{1,2,\ldots ,n\}\to \{1,2,\ldots ,n\}$, что для всех $k\in \{1,2,\ldots ,n\}$ элемент $\varphi (x_{k})$ сопряжен в $F_{n}$ с элементом $x_{\mu (k)}$;
• $\varphi (x_{1}x_{2}\ldots x_{n})=x_{1}x_{2}\ldots x_{n}$.

Множество ${\hat {B}}_{n}$ всех сплетающих автоморфизмов группы $F_{n}$ является подгруппой группы ${\rm {Aut}}(F_{n})$ всех автоморфизмов:

${\hat {B}}_{n}<{\rm {Aut}}(F_{n})$

Определим серию обратных друг к другу сплетающих автоморфизмов ${\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{n-1}$ и ${\hat {\sigma }}_{1}^{-1},{\hat {\sigma }}_{2}^{-1},\ldots ,{\hat {\sigma }}_{n-1}^{-1}$ правилом

${\hat {\sigma }}_{i}(x_{k}):={\begin{cases}x_{k+1},&k=i,\\x_{k}^{-1}x_{k-1}x_{k},&k=i+1,\\x_{k},&k\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i,i+1\},\end{cases}}$

${\hat {\sigma }}_{i}^{-1}(x_{k}):={\begin{cases}x_{k}x_{k+1}x_{k}^{-1},&k=i,\\x_{k-1},&k=i+1,\\x_{k},&k\in \{1,\ldots ,n\}\setminus \{i,i+1\}.\end{cases}}$

Гомоморфизм $B_{n}\to {\hat {B}}_{n}$ из группы кос в группу сплетающих автоморфизмов, заданный на образующих Артина правилом $\sigma _{i}\mapsto {\hat {\sigma }}$, является изоморфизмом.

Литература

• Магнус, В, Каррас, А, Солитэр, Д. Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих и соотношений = Combinatorial Group Theory: Presentations of Groups in Terms of Generators and Relations (рус.) / пер. с англ. Д. И. Молдаванского. — М.: Наука, 1974. — 456 с.
• Кассель, К, Тураев, В. Г. Группы кос = Braid groups (рус.) / пер. с англ. С. Н. Малыгина. — М.: МЦНМО, 2014. — 424 с. — ISBN 978-5-4439-0245-6.