Открыть главное меню

Дифференциальное уравнение Бернулли

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при или получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.[1]

Метод решенияПравить

Первый способПравить

Разделим все члены уравнения на

 

получим

 

Делая замену

 

и дифференцируя, получаем:

 

Это уравнение приводится к линейному:

 

и может быть решено методом Лагранжа (вариации постоянной) или методом интегрирующего множителя.

Второй способПравить

Заменим

 

тогда:

 

Подберем   так, чтобы было

 

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения   получаем уравнение   — уравнение с разделяющимися переменными.

ПримерПравить

Уравнение

 

разделим на   получаем:

 

Замена переменных

 

дает:

 
 
 

Делим на  ,

 
 
 
 

Результат:

 

ЛитератураПравить

  • А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
  • В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

ПримечанияПравить

  1. Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.