Задача Минковского

Задача Минковского:

существует ли замкнутая выпуклая гиперповерхность , у которой гауссова кривизна является заданной функцией единичного вектора внешней нормали .

Поставлена Минковским, которому принадлежит обобщённое решение задачи в том смысле, что оно не содержит никакой информации о характере регулярности , даже если  — аналитическая функция. Он доказал, что если заданная на единичной гиперсфере непрерывная положительная функция удовлетворяет условию

то существует и притом единственная (с точностью до параллельного переноса) замкнутая выпуклая поверхность , для которой является гауссовой кривизной в точке с внешней нормалью .

Регулярное решение задачи Минковского дано А. В. Погореловым в 1971 году. В частности, он доказал, что если принадлежит классу , , то получаемая поверхность принадлежит классу гладкости , а в случае аналитичности поверхность также оказывается аналитической.

Вариации и обобщенияПравить

  • Существует обобщение задачи Минковского для риманова пространства[1].

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  1. Bodrenko A.I. The solution of the Minkowski problem for open surfaces in Riemannian space. Архивная копия от 21 февраля 2020 на Wayback Machine Arxiv.org, 2007.
  • Minkowski H. Volumen und Oberfläche, Mathematische Annalen, 57 (1903) 447—495
  • Погорелов А. В., Многомерная проблема Минковского, М., 1971;
  • Буземан Г. Выпуклые поверхности. — 1964.