Задача Неймана

Зада́ча Не́ймана, вторая краевая задача — в дифференциальных уравнениях краевая задача с заданными граничными условиями для производной искомой функции на границе области — так называемые граничные условия второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: внутренние и внешние. Названа в честь Карла Неймана.

Постановка задачи

Внутренняя задача Неймана ставится следующим образом: в области $\Omega$ найти функцию $u\in C^{2}(\Omega )\cap C^{1}({\overline {\Omega }})$ , удовлетворяющую следующим условиям:

\Delta u=0

в области

\Omega

{\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigg |}_{\partial \Omega }=u_{1}(\mathbf {x} ),\ u_{1}\in C(\partial \Omega ),

где $\Delta$ — оператор Лапласа, $\mathbf {n}$ — внешняя единичная нормаль к границе области $\Omega$ .

На неограниченных областях $\Omega$ (внешняя задача Неймана) в постановке задачи добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции $u$ . Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности $n>2$ единственно, если на бесконечности функция $u\rightarrow 0$ . В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).

В общем случае второй краевой задачей называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведением производной на границе.

Условие разрешимости

Из теории потенциала известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства

$\int \limits _{\;\partial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)$

при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.^[1]

Физическая интерпретация

Для уравнений различных процессов вторые краевые задачи, в отличие от первых, задаются и интерпретируются по-разному, например:

Для уравнения теплопроводности задаются в виде ${\Bigl .}-\lambda {\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=u_{1}(\mathbf {x} )$ , что интерпретируется как тепловой поток на границе области.
Для уравнений, получаемых из уравнений Максвелла, например для уравнения относительно вектора $\mathbf {E}$ интерпретируется как магнитное поле на границе. Такие условия называются магнитными краевыми условиями. Для вектора $\mathbf {H}$ интерпретируется как электрическое поле на границе и называются электрическими краевыми условиями. В случае скалярного уравнения задаются как: ${\Bigl .}-\mu ^{-1}{\frac {\partial E}{\partial \mathbf {n} }}{\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=u_{1}(\mathbf {x} )$ , в векторном случае: ${\Bigl .}\left(\mu ^{-1}\nabla \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {n} {\Bigr |}_{\partial \Omega _{2}}=\mathbf {u_{1}} (\mathbf {x} )$ ^[2].

Аналитическое решение

Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью функции Грина:

u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega }{u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )dx}

,

где $G(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )$ — функция Грина для оператора Лапласа в области $\Omega$ .

Вторые краевые условия в численных методах

При решении задачи различными численными методами вторые краевые условия учитываются по-разному:

В методе конечных разностей производная ${\frac {\partial u}{\partial \mathbf {n} }}$ аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
В методе конечных элементов вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: $\mathbf {b} _{i}=\int _{\Omega }{f(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}+\int _{\partial \Omega _{2}}{u_{1}(\mathbf {x} )\varphi _{i}(\mathbf {x} )dx}$ , где $f(\mathbf {x} )$ — правая часть уравнения, $\partial \Omega _{2}$ — часть границы, на которых заданы вторые краевые, $\varphi _{i}(\mathbf {x} )$ $i$ -я базисная функция^[2].

См. также

Литература

В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.

Примечания

↑ М. М. Смирнов. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — Москва: Наука, 1964.
↑ ¹ ² Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

[smirnov-1] М. М. Смирнов. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. — Москва: Наука, 1964.

[fem-2] ¹ ² Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач. — Новосибирск: НГТУ, 2007. — 896 с. — ISBN 978-5-7782-0749-9.

[1]

[2]