Закон Беца (англ. Betz' law) определяет максимальную мощность ветрогенератора при заданной скорости ветра и площади ротора. Открыт в 1919 году немецким физиком Альбертом Бецом. Согласно этому закону, ветрогенератор может забрать не более 59,3 % мощности падающего на него воздушного потока[1].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Betz_tube.svg/280px-Betz_tube.svg.png)
Элементарное объяснение
правитьЭнергия, выдаваемая ветрогенератором, зависит от массы прошедшего через него воздуха (называемого расходом) и доли мощности, отбираемой им у воздушного потока, которая выражается в замедлении потока при прохождении его через ротор. Рассмотрим два крайних случая:
- Если ротор отбирает у потока 100% мощности, то поток остановится, при этом расход будет нулевым и выдаваемая ветрогенератором мощность также будет нулевой.
- Если же ротор отбирает у потока 0% мощности, то расход будет максимальным, но выдаваемая энергия тоже будет нулевой.
Таким образом, наилучший режим работы любого ветогенератора лежит посередине между этим двумя крайними случаями. Закон Беца математически выражает этот режим максимальной эффективности. Он утверждает, что максимальный КПД, равный 16/27 (59,3 %), достигается, когда воздух при прохождении через ротор замедляется в три раза[2][3].
Три независимых открытия предела эффективности турбины
правитьБританский учёный Фредерик Ланчестер вычислил эффективность турбины в 1915 году. Русский учёный, создатель аэродинамики как науки, Николай Егорович Жуковский, опубликовал такой же результат об идеальной ветровой турбине в 1920 году, в том же году что Бец.[4] Это яркий пример закона Стиглера.
Вывод формулы
правитьПредел Беца представляет собой максимальную возможную энергию, которую поток воздуха определённой скорости может передать бесконечно тонкому ротору[5].
Чтобы вычислить максимальную теоретическую эффективность тонкого ротора (например, ветряной мельницы), заменим ротор диском, который забирает энергию из проходящего сквозь него потока. Пройдя сквозь диск, поток теряет часть скорости[5].
Допущения
править- Ротор не имеет ступицы и идеален, с бесконечным количеством лопастей, которые не имеют сопротивления.
- Поток имеет строго осевое направление. Весь поток, падающий на диск, полностью проходит сквозь него и выходит с обратной стороны.
- Поток несжимаемый. Плотность остается постоянной, теплоотдача отсутствует.
- Усилие на диск или ротор равномерное.
Применение закона сохранения массы (уравнение непрерывности)
правитьПрименяя к объёму воздуха, проходящему через ротор, закон сохранения массы, получим выражение для массового расхода (массы воздуха, проходящего через ротор за единицу времени):
где — скорость потока перед ротором; — скорость потока за ротором;, — скорость на гидравлическом силовом устройстве; — плотность воздуха; — площадь ротора; и — сечение потока воздуха, падающего на ротор и выходящего из него.
Таким образом, произведение плотности, сечения потока и скорости должно быть одинаковым в каждой из трех областей: до ротора, при прохождении через ротор и после.
Мощность и скорость потока воздуха в роторе
правитьСила, действующая на поток воздуха со стороны ротора, равна массе воздуха, проходящей через ротор за единицу времени, умноженной на изменение его скорости:
Мощность есть произведение силы на скорость:
С другой стороны, мощность можно вычислить как потерю энергии воздушным потоком за единицу времени:
Приравнивая оба выражения, получаем, что скорость потока воздуха в роторе равна среднему арифметическому скоростей до и после него:
Закон Беца и КПД
правитьПодставим это значение в выражение для мощности:
Дифференцируя последнее выражение по при постоянных , и приравнивая полученное выражение к нулю, находим, что имеет максимум при .
Подставляя этот результат в выражение для мощности, получим
Полная мощность потока воздуха с сечением и скоростью равна
Поэтому выражение для максимальной теоретически возможной мощности ветрогенератора можно записать в виде
где — это «коэффициент мощности»[6], который показывает, какую максимальную долю мощности падающего потока забирает ротор ветрогенератора. Он равен , то есть КПД ветрогенератора не может превышать 59,3%.
Современные большие ветрогенераторы достигают значений 0,45 ... 0,50[7], то есть 75–85% от максимально возможного значения. При высокой скорости ветра, когда турбина работает на номинальной мощности, угол наклона лопастей увеличивают, тем самым уменьшая , чтобы избежать повреждения ротора. При увеличении скорости ветра с 12,5 до 25 м/с мощность ветра возрастает в 8 раз, соответственно, при ветре 25 м/с необходимо снизить до 0,06.
О применимости КПД, полученного по Закону Беца
правитьПодсчет КПД таким образом, когда полезная энергия относится не к энергии попавшей на актуатор, а берется из трубки, диаметром НЕ равным диаметру ротора, представляется несколько странным.
Как видно из представленной диаграммы - энергия берётся из трубки тока, диаметром НЕ равным диаметру ротора, а меньше его. Это видно уже даже по тому, что в начале трубки тока указана скорость V1 при определённой площади сечения трубки, а при приближении к актуатору, её площадь увеличивается, а, следовательно, по закону сохранения массы (уравнению неразрывности потока), эта скорость уже не может быть равна V1. Но, несмотря на это, именно она участвует во всех математических манипуляциях. То есть диаграмма, многие годы призванная доказать этот лимит, НЕВЕРНА.
И если для газа (воздуха) это хоть как-то можно притянуть изменением плотности газа, (хотя в этом случае будут иметь место и другие закономерности, а не только сугубо механическая энергия), то для жидкостей это уже применить никак не удастся вследствие её несжимаемости. Несмотря на это, некоторые особо ретивые гидродинамики стремятся применить лимит Беца и к гидротурбинам.
Более правильным в данном случае будет одновременное применение к входному и выходному сечениям уравнения Бернулли и уравнения неразрывности потока.
И в этом случае процесс уже не будет выглядеть столь тривиально. [8]
Правильнее говорить о КИ(У)М (коэффициенте использования (установленной) мощности), как это делается для, например, солнечных панелей, где КПД это КПД, который не зависит от внешних условий, и есть КИУМ, который уже зависит от внешних условий[9].
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
- ↑ Wind Turbines - Betz Law Explained (англ.). Physics and Astronomy Outreach Program at the University of British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (18 мая 2010). Дата обращения: 9 декабря 2015. Архивировано из оригинала 28 сентября 2015 года.
- ↑ Peter F. Pelz. Upper Limit for Hydropower in an Open-Channel Flow (недоступная ссылка — история). JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING Vol. 137, No. 11 (ноябрь 2011). — «This optimum is reached when the wind is decelerated to 1=3 of its speed upstream of the wind turbine and to 2=3 in the plane of the wind turbine». Дата обращения: 9 декабря 2015.
- ↑ Gijs A.M. van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit Архивная копия от 9 июня 2011 на Wayback Machine, Wind Energ. 2007; 10:289-291
- ↑ 1 2 Manwell, J. F. Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / J. F. Manwell, J. G. McGowan, A. L. Rogers. — Chichester, West Sussex, UK : John Wiley & Sons Ltd., February 2012. — P. 92–96. — ISBN 9780470015001.
- ↑ "Danish Wind Industry Association". Архивировано 31 октября 2009 года.
- ↑ "Enercon E-family, 330 Kw to 7.5 Mw, Wind Turbine Specification" Архивная копия от 16 мая 2011 на Wayback Machine.
- ↑ Гидродинамический эффект при переходе потока из субкритического режима в критический . Дата обращения: 5 апреля 2024. Архивировано 5 апреля 2024 года.
- ↑ О предельном КПД ветрогенераторов . Дата обращения: 7 февраля 2024. Архивировано 7 февраля 2024 года.
Ссылки
править- Martin Kaltschmitt, Wolfgang Streicher, Andreas Wiese. Renewable Energy: Technology, Economics and Environment (англ.). — Springer, 2007. — ISBN 978-3-540-70947-3.
- Gorban, Alexander N., Alexander M. Gorlov, and Valentin M. Silantyev, "Limits of the turbine efficiency for free fluid flow." / Journal of Energy Resources Technology 123.4 (2001): 311-317.
- Wind Energy Conversion Theory, Betz Equation, M.Ragheb, 2014 (англ.)