Закон Беца

Закон Беца (англ.  Betz' law) определяет максимальную мощность ветрогенератора при заданной скорости ветра и площади ротора. Открыт в 1919 году немецким физиком Альбертом Бецом. Согласно этому закону, ветрогенератор может забрать не более 59,3% мощности падающего на него воздушного потока[1].

Схема протекания воздушного потока через ротор ветрогенератора

Элементарное объяснениеПравить

 
Эскиз двух молекул воздуха объясняющий, почему ветровые турбины не могут работать со 100 % эффективностью.

Энергия, выдаваемая ветрогенератором, зависит от массы прошедшего через него воздуха (называемого расходом) и доли мощности, отбираемой им у воздушного потока, которая выражается в замедлении потока при прохождении его через ротор. Рассмотрим два крайних случая:

  • Если ротор отбирает у потока 100% мощности, то поток остановится, при этом расход будет нулевым и выдаваемая ветрогенератором мощность также будет нулевой.
  • Если же ротор отбирает у потока 0% мощности, то расход будет максимальным, но выдаваемая энергия тоже будет нулевой.

Таким образом, наилучший режим работы любого ветогенератора лежит посередине между этим двумя крайними случаями. Закон Беца математически выражает этот режим максимальной эффективности. Он утверждает, что максимальный КПД, равный 16/27 (59,3 %), достигается, когда воздух при прохождении через ротор замедляется в три раза[2][3].

Три независимых открытия предела эффективности турбиныПравить

Британский учёный Фредерик Ланчестер вычислил эффективность турбины в 1915 году. Русский учёный, создатель аэродинамики как науки, Николай Егорович Жуковский, опубликовал такой же результат об идеальной ветровой турбине в 1920 году, в том же году что Бец.[4] Это яркий пример закона Стиглера.

Вывод формулыПравить

Предел Беца представляет собой максимальную возможную энергию, которую поток воздуха определённой скорости может передать бесконечно тонкому ротору[5].

Чтобы вычислить максимальную теоретическую эффективность тонкого ротора (например, ветряной мельницы), заменим ротор диском, который забирает энергию из проходящего сквозь него потока. Пройдя сквозь диск, поток теряет часть скорости[5].

ДопущенияПравить

  1. Ротор не имеет ступицы и идеален, с бесконечным количеством лопастей, которые не имеют сопротивления.
  2. Поток имеет строго осевое направление. Весь поток, падающий на диск, полностью проходит сквозь него и выходит с обратной стороны.
  3. Поток несжимаемый. Плотность остается постоянной, теплоотдача отсутствует.
  4. Усилие на диск или ротор равномерное.

Применение закона сохранения массы (уравнение непрерывности)Править

Применяя к объёму воздуха, проходящему через ротор, закон сохранения массы, получим выражение для массового расхода (массы воздуха, проходящего через ротор за единицу времени):

 

где   — скорость потока перед ротором;   — скорость потока за ротором;,   — скорость на гидравлическом силовом устройстве;   — плотность воздуха;   — площадь ротора;   и   — сечение потока воздуха, падающего на ротор и выходящего из него.

Таким образом, произведение плотности, сечения потока и скорости должно быть одинаковым в каждой из трех областей: до ротора, при прохождении через ротор и после.

Сила, действующая на поток воздуха со стороны ротора, равна массе воздуха, умноженной на его ускорение. В терминах плотности, сечения и скорости потока это можно записать как

 

Мощность и работаПравить

Работу, совершаемую силой, можно в дифференциальной форме записать как

 

тогда мощность потока воздуха

 

Заменяя   полученным ранее выражением для силы, получим

 

С другой стороны, мощность можно вычислить как потерю энергии воздушным потоком за единицу времени:

 

Заменяя   выражением, найденным ранее из условия непрерывности, получим

 

Приравниваем друг другу оба выражения:

 

Сокращаем общие множители и преобразуем полученное выражение:

 
 
 

Таким образом, скорость потока воздуха в роторе равна среднему арифметическому скоростей до и после него.

Закон Беца и КПДПравить

Возвратимся в выражению для мощности через кинетическую энергию:

 
 
 
 
 
 
Зависимость коэффициента Cp (вертикальная ось) от v2/v1[1]"

Дифференцируя последнее выражение по   при постоянных  ,   и приравнивая полученное выражение к нулю, находим, что   имеет экстремум (максимум) при  .

Подставляя этот результат в выражение для мощности, получим

 

Запишем последнее выражение как

 

Полная мощность потока воздуха с сечением   и скоростью   равна

 

Таким образом,   — это «коэффициент мощности»[6], который показывает, какую максимальную долю мощности падающего потока забирает ротор ветрогенератора. Он равен  , то есть КПД ветрогенератора не может превышать 59,3%.

Современные большие ветрогенераторы достигают значений   0,45 ... 0,50[7], то есть 75–85% от максимально возможного значения. При высокой скорости ветра, когда турбина работает на номинальной мощности, угол наклона лопастей увеличивают, тем самым уменьшая  , чтобы избежать повреждения ротора. При увеличении скорости ветра с 12,5 до 25 м/с мощность ветра возрастает в 8 раз, соответственно, при ветре 25 м/с необходимо снизить   до 0,06.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.
  2. Wind Turbines - Betz Law Explained (англ.) (недоступная ссылка). Physics and Astronomy Outreach Program at the University of British Columbia (Brittany Tymos 2009-06-11) (05/18/2010). Дата обращения: 9 декабря 2015. Архивировано 28 сентября 2015 года.
  3. Peter F. Pelz. Upper Limit for Hydropower in an Open-Channel Flow. JOURNAL OF HYDRAULIC ENGINEERING Vol. 137, No. 11 (ноябрь 2011). — «This optimum is reached when the wind is decelerated to 1=3 of its speed upstream of the wind turbine and to 2=3 in the plane of the wind turbine». Дата обращения: 9 декабря 2015.
  4. Gijs A.M. van Kuik, The Lanchester-Betz-Joukowsky Limit, Wind Energ. 2007; 10:289-291
  5. 1 2 Manwell, J. F. Wind Energy Explained: Theory, Design and Application / J. F. Manwell, J. G. McGowan, A. L. Rogers. — Chichester, West Sussex, UK : John Wiley & Sons Ltd., February 2012. — P. 92–96. — ISBN 9780470015001.
  6. "Danish Wind Industry Association". Архивировано 31 октября 2009 года.
  7. "Enercon E-family, 330 Kw to 7.5 Mw, Wind Turbine Specification".

СсылкиПравить