Затухающие колебания

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида в природе невозможен. Свободные колебания любого осциллятора рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому на практике обычно имеют дело с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний A является убывающей функцией. Обычно затухание происходит под действием сил сопротивления среды, наиболее часто выражаемых линейной зависимостью от скорости колебаний или её квадрата.

Затухающие колебания пружинного маятника

В акустике: затухание — уменьшение уровня сигнала до полной неслышимости.

Пример — затухающие колебания пружинного маятника

править
 
Модель пружинного маятника. B — демпфер. F — внешняя сила (в примере не присутствует).

Пусть имеется система, состоящая из пружины (подчиняющейся закону Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на другом находится тело массой m. Колебания совершаются в среде, где сила сопротивления пропорциональна скорости с коэффициентом c (см. вязкое трение).

Тогда второй закон Ньютона для рассматриваемой системы запишется как

 

где   — сила сопротивления, а   — сила упругости. Получается

 

или в дифференциальной форме

 

где   — коэффициент упругости в законе Гука,   — коэффициент сопротивления, устанавливающий соотношение между скоростью движения грузика и возникающей при этом силой сопротивления.

Для упрощения вводятся следующие обозначения:

 

Величину   называют собственной частотой системы,   — коэффициентом затухания. С такими обозначениями дифференциальное уравнение принимает вид

 

Уравнение затухающих колебаний. Возможные решения

править

Последнее уравнение предыдущего раздела является общим уравнением затухающих колебаний величины   (которая, вообще говоря, не обязательно должна быть координатой). Если абстрагироваться от того, как были получены параметры   и   в конкретном примере, такое уравнение применимо для описания широкого класса систем с затуханием.

Сделав замену  , получают характеристическое уравнение

 

корни которого вычисляются по формуле

 
 
Зависимость графиков колебаний от значения  .

В зависимости от величины коэффициента затухания решение разделяется на три возможных варианта.

  • Апериодичность

Если  , то имеется два действительных корня, и решение дифференциального уравнения принимает вид:

 

В этом случае колебания с самого начала экспоненциально затухают.

  • Граница апериодичности

Если  , два действительных корня совпадают  , и решением уравнения является:

 

В данном случае может иметь место вре́менный рост, но потом — экспоненциальное затухание.

  • Слабое затухание

Если  , то решением характеристического уравнения являются два комплексно сопряжённых корня

 

Тогда решением исходного дифференциального уравнения является

 

где   — собственная частота затухающих колебаний.

Константы   и   в каждом из случаев определяются из начальных условий:  

См. также

править

Литература

править

Лит.: Савельев И. В., Курс общей физики:Механика, 2001.