Изгибные волны

Изги́бные во́лны — упругие волны, представляющие собой распространяющиеся в стержнях и пластинках деформации изгиба. Строго говоря, изгибными называют только волны, длина волны которых много больше толщины стержня или пластинки. В случае, если длина изгибной волны сравнима с толщиной стержня или пластинки, характер её распространения становится значительно более сложным и такую волну уже не называют изгибной.

В стержне изгибные волны могут распространяться только вдоль его направления. В пластинках направление изгибных волн может быть произвольным в плоскости пластинки. При распространении изгибных волн отклонение частиц происходит в направлении, перпендикулярном направлению распространению, таким образом изгибные волны являются поперечными.

Математическое описание

Линейная изгибная волна описывается дифференциальным уравнением в частных производных четвёртого порядка вида

$\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+ER^{2}{\frac {\partial ^{4}u}{\partial z^{4}}}=0$

в случае стержня и

$\rho {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}+{\frac {Eh^{2}}{12(1-\sigma ^{2})}}\Delta ^{2}u=0$

в случае пластинки. Здесь использованы следующие обозначения: $t$ — время, $z$ — координата вдоль оси стержня, $\Delta$ — двумерный оператор Лапласа по координатам плоскости пластинки, $u$ — смещение элементов стержня или пластинки, $\rho$ — плотность материала, $E$ — модуль Юнга, $\sigma$ — коэффициент Пуассона, $R$ — радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба и проходящей через нейтральную поверхность, $h$ — толщина пластинки.

Из уравнений можно получить выражения для фазовых скоростей изгибных волн частоты $\omega$. Для стержня она равна

$v_{p}=\left({\frac {ER^{2}}{\rho }}\right)^{\frac {1}{4}}\omega ^{\frac {1}{2}}$

а для пластинки:

$v_{p}=\left({\frac {Eh^{2}}{12\rho (1-\sigma ^{2})}}\right)^{\frac {1}{4}}\omega ^{\frac {1}{2}}$

Можно показать, что эти скорости значительно меньше фазовой скорости продольных волн. Также видно, что изгибные волны подвержены дисперсии: при увеличении частоты их фазовая скорость увеличивается (аномальная дисперсия). Термин «аномальная» заимствован из оптики. Там в прозрачных средах фазовая скорость растёт с увеличением длины волны (уменьшением частоты). В случае изгибных волн в стержне дисперсия обусловлена границами среды (не свойствами). При уменьшении длины волны растёт кривизна изгиба из-за чего растёт и сила упругости и соответственно фазовая скорость. (см. учебник автор Исакович) . Групповая скорость изгибных волн связана с фазовой простым соотношением:

$v_{g}=2v_{p}$

Примеры

Примерами изгибных волн могут служить стоячие волны, возбуждаемые при ударе камертона, в деках музыкальных инструментов и в диффузорах громкоговорителей. Вибрации тонких стенок корпусов самолётов, автомобилей, перекрытий и стен здания и т. п. также являются примером изгибных волн.

Литература

• И. А. Викторов. Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 101. — 704 с. — 100 000 экз. — ISBN 5-85270-061-4.