Кинематика сплошной среды

Кинематика сплошной среды (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.

Модель сплошной среды

Модель оперирует понятием элементарного объема $dV$, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера $dV$. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.

Лагранжев и эйлеров подходы для описания сплошной среды

Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени $\tau$. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.

Координаты точек среды $(x_{1},x_{2},x_{3})$ в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат $(x_{1},x_{2},x_{3})$ материальной частицы $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ в любой момент времени, то есть нахождении функций $x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3}$ или же функций $\xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3}$, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.

Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ (лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}$ (эйлеров подход).

Для любой функции в эйлеровых переменных $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$ выполняется

${\frac {df}{dt}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}+v_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}}+v_{3}{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}}$.

Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения

Линией тока в момент времени $\tau$ называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$ в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений

${\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}$.

Формула Коши-Гельмгольца

Формула Коши-Гельмгольца связывает скорость частиц среды в точке $A$, находящейся в малой окрестности некоторой точки $O(x_{1},x_{2},x_{3})$, если известна скорость частиц в точке $O$.

${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

где ${\hat {E}}=(e_{ij})$ — тензор скоростей деформаций, а ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ — тензор малых деформаций, ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$ — вектор вихря.

Доказательство

Точка $A$ представима как

$A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})$.

В линейном приближении

$v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{2}}}\Delta x_{2}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}$, или через оператор набла: $\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1,2,3}$ $\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)$.

Перемещение точки $A$ относительно $O$ имеет вид $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$, из показанного выше $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$ или покоординатно

$dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}\cdot r_{j}\right)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}$.

Можно переписать

$dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt$

где

$e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{j}}{\partial r_{i}}}\right)$, а $f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial r_{i}}}\right)$.

После преобразования

$\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}$

Получается формула Коши-Гельмгольца:

$d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right)dt$

Таким образом, $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right)dt$, или для скоростей: ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$.

Чистая деформация

Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:

${\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}$

По формуле Коши-Гельмгольца $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e}}_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$.

В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент $t$ на сфере радиуса $a$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ перейдут за $dt$ в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.

Длины главных осей эллипсоида описываются $e_{1},e_{2},e_{3}$ — корнями $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt}},\;b^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{2}\,dt}},\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$.

Однородная деформация

В том случае, когда ${\hat {E}},\;{\vec {\omega }}$, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.

При однородной деформации:

• Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
• Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
• Если ${\hat {E}}$ в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и ${\vec {\omega }}$ одинаков во всех точках среды.

Условие совместности

В силу определения $e_{ij}=e_{ji}$, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости $(v_{1},v_{2},v_{3})$. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:

${\frac {\partial ^{2}e_{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}={\frac {\partial ^{2}e_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}e_{kj}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}={\frac {\partial ^{2}e_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}$

Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.

Литература

• Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
• Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2