Кольцо множеств

Кольцо множеств — непустая система множеств $R$, замкнутая относительно пересечения и симметрической разности конечного числа элементов. Это значит, что для любых элементов $A$ и $B$ из кольца элементы $A\cap B$ и $A\triangle B$ тоже будут лежать в кольце.

С точки зрения общей алгебры кольцо множеств — ассоциативное коммутативное кольцо с операцией симметрической разности в роли сложения и пересечения в роли умножения. В роли нейтрального элемента по сложению выступает, очевидно, пустое множество. Нейтрального элемента по умножению в кольце множеств может и не быть. Например, не имеет нейтрального элемента по умножению кольцо всех ограниченных подмножеств числовой прямой.

Некоторые свойства:

• пустое множество принадлежит любому кольцу (так как $\varnothing =A\triangle A$);
• объединение конечного числа элементов кольца принадлежит кольцу, так как $A\cup B=(A\triangle B)\triangle (A\cap B)$;
• разность элементов кольца также принадлежит кольцу, так как $A\backslash B=A\triangle (A\cap B)$.

Порождённое кольцо

Определение

Для некоторого полукольца множеств $S$ его порождённым кольцом $R(S)$ называется минимальное (по включению) кольцо, содержащее его. При этом построение такого кольца несложно: достаточно взять все объединения конечного количества непересекающихся множеств $S$, то есть:

$R(S)=\left\{\bigsqcup _{i=1}^{n}A_{i}\ {\bigg |}\ A_{k}\in S\right\}.$

В данной системе пересечение двух элементов $A=\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ A_{k}$ и $B=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ B_{j}$ есть $\textstyle {\bigsqcup _{k}\bigsqcup _{j}}\ (A_{k}\cap B_{j})$ — объединение элементов, которые содержатся в $S$ как в полукольце, отчего пересечение содержится в системе. Одновременно с этим в силу свойств полукольца любое $A_{k}\in S$ можно представить как $\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ (A_{k}\cap B_{j})\sqcup \textstyle {\bigsqcup _{i}}\ D_{i,k}$, а $B_{j}\in S$ — как $\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ (A_{k}\cap B_{j})\sqcup \textstyle {\bigsqcup _{l}}\ F_{l,j}$ Следственно,

$A\bigtriangleup B=(A\setminus B)\sqcup (B\setminus A)=\bigsqcup _{k}\bigsqcup _{i}\ D_{i,k}\sqcup \bigsqcup _{j}\bigsqcup _{l}\ F_{l,j}\in R(S)$, ⁣

откуда вытекает замкнутость системы также относительно симметрической разности. А значит, данное построение действительно является кольцом.

Более того, нетрудно видеть, что любое другое кольцо множеств $S$ в силу своих свойств также содержит все объединения данного вида, что означает: $R(S)$ действительно минимально.

Продолжение меры на кольцо

Меру $m$ данного полукольца $S$ можно единственным образом продолжить до меры на его порождённом кольце $R(S).$ А именно: для элемента $R(S)$, который является объединением непересекающихся множеств $S$, его мера равна сумме мер этих множеств:

$A=\bigsqcup _{k=1}^{n}A_{k},A_{k}\in S\ \Longrightarrow mA=\sum _{k=1}^{n}mA_{k}.$ ⁣

Некоторые свойства:

• функция $m$ доопределена корректно, то есть не зависит от представления в виде объединения;

Доказательство

Пусть $A=\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ A_{k}=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ B_{j}$ — два различных представления $A$ в виде объединения элементов $S$. Тогда сумма мер множеств этих представлений одинакова:

$\sum _{k}A_{k}=\sum _{k}\sum _{j}(A_{k}\cap B_{j})=\sum _{j}\sum _{k}(A_{k}\cap B_{j})=\sum _{j}B_{j}.$ ⁣

• продолженная функция $m$ является мерой на $R(S)$;

Доказательство

Если $B=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ B_{j}$ и $B,B_{j}\in S$, то существуют представления $B_{j}=\textstyle {\bigsqcup _{k}}\ A_{j,k}$, где $A_{j,k}\in S$. При этом $mB_{j}=\textstyle {\sum _{k}^{}mA_{j,k}}.$ Но равенство $B=\textstyle {\bigsqcup _{j}\bigsqcup _{k}}\ A_{j,k}$ является представлением $B$ в виде объединения элементов $S.$ Поэтому мера $B$ равна сумме мер $B_{j}$:

$mB=\sum _{j}\sum _{k}A_{j,k}=\sum _{j}B_{j}.$ ⁣

• если мера счётно-аддитивна на полукольце, то она сохраняет это свойство и при продолжении.

Доказательство

Пусть $A=\textstyle {\bigsqcup _{j}}\ A_{j}$, $B_{n}=\textstyle {\bigsqcup _{i}}\ B_{n,i}$ — представления в виде объединения множеств $S$ — и $A=\textstyle {\bigsqcup _{n}^{\infty }}B_{n}.$ Тогда $mA=\textstyle {\sum _{j}}\ mA_{j}$ и $mB_{n}=\textstyle {\sum _{i}}\ mB_{n,i}.$ В силу счётной аддитивности меры на $S$ имеем:

$mA_{j}=\sum _{n}^{\infty }\sum _{i}m(A_{j}\cap B_{n,i}),\qquad mB_{n,i}=\sum _{j}m(A_{j}\cap B_{n,i}).$ ⁣

Переставляя и группируя слагаемые в абсолютно сходящихся рядах (мера неотрицательна), получаем:

$mA=\sum _{j}mA_{j}=\sum _{j}\sum _{n}^{\infty }\sum _{i}m(A_{j}\cap B_{n,i})=\sum _{n}^{\infty }\sum _{i}\sum _{j}m(A_{j}\cap B_{n,i})=\sum _{n}^{\infty }\sum _{i}mB_{n,i}=\sum _{n}^{\infty }mB_{n}.$

См. также

Алгебра множеств