Открыть главное меню

Симметрическая разность

Диаграмма Эйлера — Венна для симметрической разности

Симметрическая разность двух множеств — теоретико-множественная операция, результатом которой является новое множество, включающее все элементы исходных множеств, не принадлежащие одновременно обоим исходным множествам. Другими словами, если есть два множества и , их симметрическая разность есть объединение элементов , не входящих в , с элементами , не входящими в . На письме для обозначения симметрической разности множеств и используется обозначение , реже используется обозначение .

ОпределениеПравить

Симметрическую разность можно ввести двумя способами:

  • симметрическая разность двух заданных множеств   и   — это такое множество  , куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество:
 
  • симметрическая разность двух заданных множеств   и   — это такое множество  , куда входят все те элементы обоих множеств, которые не являются общими для двух заданных множеств.
 

Понятие симметрической разности можно обобщить на число множеств, большее двух.

СвойстваПравить

 
 
 
 
  • Любое множество обратно само себе относительно операции симметрической разности:
 
  • В частности, булеан с операцией симметрической разности является абелевой группой;
  • Булеан с операцией симметрической разности также является векторным пространством над полем  
  • В частности, булеан с операциями пересечения множеств и симметрической разности является алгеброй с единицей.
  •  
  •  
  •  
  • Если роль «суммы» играет операция симметрической разности, а роль «произведения» — пересечение множеств, то множества образуют кольцо с единицей. Причём другие основные операции теории множеств, разность и объединение, можно выразить через них:
 
 
  • Объединение симметрической разности с пересечением двух множеств равно объединению исходных множеств
 

ПримерПравить

Пусть

 

Тогда

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить