Кривая Вивиани
Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.
Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы[1]. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон[фр.] и Жиль Роберваль (1666).
Уравнения
править- Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра
- со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:
- Параметрическое уравнение:
- Уравнения проекций на плоскости , , :
Свойства
править- Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
- Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.
Доказательство
- Найдём площадь поверхности , ограниченной кривой Вивиани, интегрированием в координатах .
- Площадь поверхности определяется привычным образом через интеграл:
- где — область, ограниченная кривой Вивиани.
- Вычислим подынтегральное выражение:
- Продолжая вычисление и учитывая симметричность области интегрирования относительно оси (получая таким образом четыре одинаковых части), находим:
- Первое слагаемое в получившемся выражении представляет собой площадь полусферы диаметра , второе слагаемое — площадь квадрата со стороной, равной этому же диаметру.
- Таким образом, разность площадей полусферы и рассматриваемой поверхности равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы:
- что и требовалось доказать.
Литература
править- Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
- Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
- Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
- Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.
Примечания
править- ↑ The Möbius Strip And The Viviani’s Windows . Дата обращения: 15 августа 2017. Архивировано 8 марта 2014 года.