Кривая Вивиани — пространственная кривая, пересечение кругового цилиндра со сферой с центром на поверхности цилиндра и радиусом, равным диаметру цилиндра.

Кривая Вивиани — пересечение сферы и цилиндра

Названа в честь Винченцо Вивиани, который дал в 1692 году детальное исследование этой кривой и впервые отметил, что ограниченные ею на полусфере две области допускают простую квадратуру: их общая площадь такова, что поверхность оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы[1]. До Вивиани эту кривую изучали Де ла Лубер, Симон[фр.] и Жиль Роберваль (1666).

Уравнения

править
  • Кривая Вивиани является линией пересечения поверхности цилиндра
     
со сферой вдвое большего радиуса, центр которой лежит на поверхности цилиндра:
 
  • Параметрическое уравнение:
     
  • Уравнения проекций на плоскости  ,  ,  :
     
     
     
     
     
     

Свойства

править
  • Проекция кривой Вивиани на общую касательную цилиндра и сферы является лемнискатой Жероно.
  • Кривая Вивиани на пересекающейся с цилиндром полусфере отделяет такие две области, что площадь оставшейся части полусферы равна площади квадрата, построенного на диаметре сферы.

Литература

править
  • Берже М. Геометрия, тт. 1—2. М: Мир, 1984.
  • Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bologna, 1925.
  • Roero C.S. L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l’Univ. d'Été Hist. des Math., I.R.E.M. Toulouse, 1986.
  • Roero C.S. The Italian challange to Leibnitzian calculus in 1692. Leibnitz and Viviani: a comparison of two epistemologies, V Int. Congress Leibnitz, Hannover, 1988.

Примечания

править
  1. The Möbius Strip And The Viviani’s Windows. Дата обращения: 15 августа 2017. Архивировано 8 марта 2014 года.