Критерий Эйзенштейна

Крите́рий Э́йзенштейна — признак неприводимости многочлена, названный в честь немецкого математика Фердинанда Эйзенштейна. Несмотря на (традиционное) название, является именно признаком, то есть достаточным условием — но вовсе не необходимым, как можно было бы предположить, исходя из математического смысла слова «критерий» (см. ниже).

ФормулировкаПравить

Пусть   — многочлен над факториальным кольцом R ( ), и для некоторого неприводимого элемента   выполняются следующие условия:

  •   (то есть   не делится на  ),
  •   для любого i от 0 до n-1,
  •  .

Тогда многочлен   неприводим над F — полем частных кольца R.

Наиболее часто этот критерий применяется, когда R — кольцо целых чисел  , а F — поле рациональных чисел  .

ДоказательствоПравить

Предположим обратное:  , где   и   многочлены над F ненулевых степеней. Из леммы Гаусса следует, что их можно рассматривать как многочлены над R. Имеем:

 

По условию   и R факториально, поэтому либо   либо  , но не то и другое вместе ввиду того, что  . Пусть   и  . Все коэффициенты   не могут делиться на  , так как иначе бы это было бы верно для  . Пусть   — минимальный индекс, для которого   не делится на  . Отсюда следует:

 

Так как   и   для всех   то  , но это невозможно, так как по условию   и  . Теорема доказана.

ПримерыПравить

  • Многочлен   неприводим над  
  • Многочлен деления круга   неприводим. В самом деле, если он приводим, то приводим и многочлен  , а так как все его коэффициенты, кроме первого являются биномиальными, то есть делятся на  , так как  , а последний коэффициент   к тому же не делится на   то по критерию Эйзенштейна он неприводим вопреки предположению.
  • Многочлен   над   является примером, показывающим, что критерий Эйзенштейна («существует такое p, что …; тогда многочлен неприводим») является только достаточным, но не необходимым условием. Действительно, единственный простой делитель свободного члена это  , но 4 делится на   — поэтому критерий Эйзенштейна здесь неприменим. С другой стороны, как многочлен 3 степени без рациональных корней, этот многочлен неприводим.