Лемма Картана (линейная алгебра)

Лемма Картана — утверждение о внешней алгебре, доказано Эли Картаном в 1899.

Формулировка

Пусть $v_{1},\dots ,v_{p}$ — линейно независимые вектора в пространстве $V$ и $w_{1},\dots ,w_{p}\in V$ таковы, что

$v_{1}\wedge w_{1}+\cdots +v_{p}\wedge w_{p}=0$

Тогда,

$w_{i}=\sum _{j}h_{ij}\cdot v_{j}.$

для некоторых коэффициентов $h_{ij}=h_{ji}$.

В частности, $w_{1},\dots ,w_{p}$ лежат в линейной оболочке $v_{1},\dots ,v_{p}$.