Линейность по параметрам

Лине́йность по пара́метрам — свойство экономических моделей, позволяющее рассматривать их с эконометрической точки зрения (с точки зрения оценки параметров) как линейные модели.

Определение

Модель $g_{0}(y)=f(x,b)+\varepsilon$ называется линейной по параметрам $b$, если функция регрессии $f(x,b)$ обладает свойством:

$\forall j~~{\frac {\partial f}{\partial b_{j}}}=g_{j}(x)$

где $g_{0},g_{j}$ — некоторые (вообще говоря — нелинейные) функции, не содержащие неизвестных параметров

Поскольку вторые и более высокого порядка производные по параметрам равны в этом случае нулю, то разложение функции регрессии в ряд Тейлора по параметрам приводит к следующему линейному представлению:

$f(x,b)=\sum _{j=1}^{k}b_{j}g_{j}(x)+\varepsilon$

Если обозначить $z_{0}=g_{0}(y)~,~z_{j}=g_{j}(x)$, то получаем обычную линейную регрессию относительно новых переменных.

$z_{0}=\sum _{j=1}^{k}b_{j}z_{j}+\varepsilon$

Линеаризация

Многие нелинейные модели можно представить в форме, линейной по параметрам. Соответствующий процесс преобразования модели называется линеаризацией. Для линеаризации может использоваться логарифмирование и иные приёмы. Пусть имеется следующая нелинейная модель (производственная функция Кобба — Дугласа):

$y=AK^{\alpha }L^{\beta }\nu$

где $\nu$ — мультипликативная случайная компонента.

Логарифмируя это выражение, получим линейную по параметрам модель:

$\ln y=\ln A+\alpha \ln K+\beta \ln L+\ln \nu =a+\alpha \ln K+\beta \ln L+\varepsilon$

Важно отметить, что линеаризуемость модели связана также со способом присоединения случайной компоненты в исходной модели. Например, модель $y=AK^{\alpha }L^{\beta }+\varepsilon$ линеаризовать нельзя. Часто случайную ошибку присоединяют специально именно таким образом, чтобы модель можно было линеаризовать.

Примеры

Полиномиальная модель

$y=\sum _{j=0}^{k}b_{j}x^{j}+\varepsilon$

Полиномиальные модели используются для предварительной аппроксимации данных исходя из известной теоремы о приближении любых функций полиномами.

Логарифмическая регрессия

$\ln y=\sum _{j=1}^{k}b_{j}\ln x_{j}+\varepsilon$

Это модель с постоянной эластичностью зависимой переменной по факторам.

Обратная линейная модель

${\frac {1}{y}}=\sum _{j=0}^{k}b_{j}{\frac {1}{x_{j}}}+\varepsilon$