Локальная топологическая группа

Локальная топологическая группа — топологическое пространство, в котором заданы непрерывные операции умножения и взятия обратного элемента, удовлетворяющие аксиомам группы, но, в отличие от топологической группы, определённые лишь в некоторой окрестности единицы. Примером локально топологической группы является любая топологическая группа.

Определение

Локальной топологической группой называется система $(G,e,W,V,m,i)$, где $G$ — топологическое пространство, $e$ — некоторый его элемент, $W$ и $V$ — открытые подмножества в $G\times G$ и $G$ соответственно, $e\in V$, $m\colon W\to G$ — непрерывная операция умножения (обычно обозначают $m(a,b)=ab$), $i\colon V\to G$ — непрерывная операция нахождения обратного элемента (обычно обозначают $i(a)=a^{-1}$), если выполнены следующие условия:

1. Для любых элементов $a,b,c\in G$, для которых определены произведения $ab,bc,(ab)c,a(bc)$, выполнено $(ab)c=a(bc)$.
2. Для любого элемента $a\in G$ произведения $ae,ea$ определены и равны $a$.
3. Для любого элемента $a\in G$ произведения $aa^{-1},a^{-1}a$ определены и равны $e$.

Примеры

Каждая топологическая группа (а также любая её окрестность единицы) является локальной топологической группой.

Литература

• Понтрягин Л. С., Непрерывные группы, 3 изд., М.,

Ссылки

• Локальная топологическая группа — статья из Математической энциклопедии. В. Л. Попов