Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду

Метод Лагранжа — метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем.

Описание

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть задана квадратичная форма:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}$

В силу симметричности матрицы $a_{ij}(a_{ij}=a_{ji})$ квадратичную форму можно переписать следующим образом:

${\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}}={\sum _{i=1}^{n}({a_{ii}{x_{i}}^{2}+\sum _{j=i+1}^{n}{2a_{ij}x_{i}x_{j}}})}$

Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов $a_{ii}$ при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать $a_{11}\neq 0$ (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2. все коэффициенты $a_{ii}=0,i=1,2,...,n$, но есть коэффициент $a_{ij},i\neq j$, отличный от нуля (для определённости пусть будет $a_{12}\neq 0$).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

$f(x_{1},x_{2},...,x_{n})=(a_{11}x_{1}^{2}+2a_{12}x_{1}x_{2}+...+2a_{1n}x_{1}x_{n})+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$

$={\frac {1}{a_{11}}}(a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}-{\frac {1}{a_{11}}}(a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n})^{2}+f_{1}(x_{2},x_{3},...,x_{n})=$

$={\frac {1}{a_{11}}}y_{1}^{2}+f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$, где

$y_{1}=a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+...+a_{1n}x_{n}$, а через $f_{2}(x_{2},x_{3},...,x_{n})$ обозначены все остальные слагаемые.

$f_{2}(x_{2},...,x_{n})$ представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных $x_{2},x_{3},...,x_{n}$.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что $y_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}$

Второй случай заменой переменных $x_{1}=y_{1}+y_{2},x_{2}=y_{1}-y_{2},x_{3}=y_{3},...,x_{n}=y_{n}$ сводится к первому.