Метод парных точек

Метод парных точек — метод обработки экспериментальных данных, созданный для оценивания значения углового коэффициента зависимости и определения его погрешности. Из экспериментальных точек на графике берутся те, которые находятся друг от друга примерно на одинаковом расстоянии (это расстояние должно быть максимально возможным).

Построение прямой по точкам

Определение параметров линейной зависимости из графика

После снятия параметров, строится график зависимости. По получившимся точкам проводится прямая «на глаз», так, чтобы примерное одинаковое количество точек одинаково и на приблизительно равном расстоянии располагалось по обе стороны этой прямой — таким образом усредняются значения.

Выбирается пара точек с координатами x₁, y₁, x₂, y₂, для получения уравнений с неизвестными a и b:

• y₁=ax₁+b,
• y₂=ax₂+b,

из которых находят:

$a={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}},\quad b={\frac {y_{2}x_{1}-y_{1}x_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$

Оценка погрешностей для этих параметров:

$\Delta a={\bigg |}{\frac {a_{1}-a_{2}}{2}}{\bigg |},$ $\quad$ $\Delta b={\bigg |}{\frac {b_{1}-b_{2}}{2}}{\bigg |}$ Данные значения принимают за результат измерения искомого параметра зависимости.

Пример

Пример обработки экспериментальных данных. Найдем угловой коэффициент прямой зависимости удельного сопротивления металла (платины) от температуры. Значения сопротивления и температуры приведены в таблице.

№ пары	T, K	ρ, Ом*м	ΔT	Δρ*10−6	ai=${\frac {\Delta \rho }{\Delta T}}$*10−10	ai-<a>*10−10	(ai-<a>)2*10−20
1 8	302 337	0,099 0,125	35	0,024	6,86	-2,94	8,64
2 9	307 342	0,113 0,126	35	0,013	3,71	0,21	0,0441
3 10	312 347	0,115 0,126	35	0,011	3,14	0,78	0,608
4 11	317 352	0,118 0,128	35	0,01	2,85	1,07	1,14
5 12	322 357	0,118 0,131	35	0,013	3,71	0,21	0,04
6 13	327 362	0,12 0,131	35	0,011	3,14	0,78	0,608
7 14	332 367	0,112 0,134	35	0,014	4	-0,08	0,0064

Где $<a>={\frac {\sum (a_{i})}{7}}=3,92*10$⁻¹⁰, а $\sum (a-<a>)^{2}=11,09*10$⁻²⁰

Дисперсия равна

σ_<a>= ${\sqrt {\frac {\sum (a-<a>)^{2}}{n(n-1)}}}=0,51*10$⁻¹⁰.

Для n=7 и доверительной вероятности α=0,98 коэффициент Стьюдента t(0,98;7)=2,4. Погрешность Δa=2,4*0,51*10⁻¹⁰= 1,23*10⁻¹⁰ Окончательный результат a=(3,92$\pm$1,23)*10⁻¹⁰

Литература

• Обработка экспериментальных данных/Б. Д. Агапьев, В. Н. Белов, Ф. П. Кесаманлы, В. В. Козловский, С. И. Марков: Учебное пособие. 2000. 84с.