Многочлены Кравчука (М. Ф. Кравчук, 1929) относятся к классическим ортогональным полиномам дискретной переменной на равномерной сетке, для которых соотношение ортогональности представляет собой не интеграл, а ряд или конечную сумму:
.
Многочлены Кравчука |
Формула |
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{n}^{(p)}(x)=(-1)^{n}{\binom {N}{n}}p^{n}{}_{2}F_{1}(-n,-x;-N;1/p)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f0a20e94ffe2a924cb0a0e9d82824770aee630e) |
Скалярное произведение |
. |
Область определения |
![{\displaystyle x\in {1,2,...N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/690c667ba664d1dd3efd79f2865544676340e4c0) |
Названы в честь |
Кравчук, Михаил Филиппович |
Здесь
— весовая функция,
— квадратичная норма,
. Для
весовая функция с точностью до постоянного множителя
сводится к биномиальному коэффициенту.
Рекуррентное соотношение для этих многочленов имеет вид
.
Путём несложных преобразований его можно привести к форме
,
где
Многочлены Кравчука могут быть выражены через гипергеометрическую функцию Гаусса:
В пределе при
многочлены Кравчука переходят в многочлены Эрмита:
Первые четыре полинома для простейшего случая
:
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{0}(x,N)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65e4fab68ce47f753c3ee998a8a57f43b9985489)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{1}(x,N)=-2x+N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536ca6fba2207eef418d3a8d60263034c6861e48)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{2}(x,N)=2x^{2}-2Nx+{N \choose 2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26224778c73f2d006daa7ab42b5ff0c9b3bda4c9)
![{\displaystyle {\mathcal {K}}_{3}(x,N)=-{\frac {4}{3}}x^{3}+2Nx^{2}-\left(N^{2}-N+{\frac {2}{3}}\right)x+{N \choose 3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe88c7cff24540e346e0333ea046a8ef81db708)