Теорема Мак-Вильямс

В теории кодирования теорема Мак-Ви́льямс устанавливает связь между весовой функцией линейного кода и весовой функцией двойственного ему кода. Одним из следствий теоремы является получение верхней границы мощности кода. Названа в честь английского математика Флоренс Джесси Мак-Вильямс.

Пусть $C\subset \mathbb {F} _{2}^{n}$ двоичный линейный код длины $n$. Весовым распределением кода $C$ называется числовая последовательность $\{A_{w}\}_{w=0}^{n},$ где $\displaystyle A_{w}$ обозначает количество кодовых слов $C$ весом $w$:

$A_{w}=\#\{c\in C\mid {\mathsf {w}}(c)=w\}$.

Весовой функцией (или весовым энумератором) называется многочлен двух переменных

$W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}x^{w}y^{n-w}.$

Элементарные свойства весовой функции

• $\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1.$
• $\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}=|C|.$
• $\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1,$ когда $(1,\ldots ,1)\in C,$ иначе $\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=0.$
• $\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}A_{w}(-1)^{n-w}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1}A_{1}+(-1)^{n}A_{0}.$

Формулировка теоремы

Обозначим код, двойственный $C$, через

$C^{\perp }=\{x\in \mathbb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\forall c\in C:\langle x,c\rangle =0{\mbox{ }}\},$

где $\langle \,,\,\rangle$ обозначает скалярное произведение векторов в векторном пространстве $\mathbb {F} _{2}^{n}$.

Теорема Мак-Вильямс гласит, что

$W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).$

Литература

• Pless V. Introduction to the theory of error-correcting codes. — Wiley, New York, § 8.2, 1998.
• Lint van J.H. Introduction to coding theory. — Springer-Verlag, Berlin, § 3.5, 1999.
• Roth R.M. Introduction to coding theory. — Cambridge University Press, Cambridge, § 4.4, 2006.

См. также

• Многочлены Кравчука
• Теорема Дельсарта