Многочлены Роджерса

Многочлены Роджерса, называемые также многочленами Роджерса — Аски — Исмаила и непрерывными q-ультрасферическими многочленами, — это семейство ортогональных многочленов, которые ввёл Леонард Джеймс Роджерс^[1]^[2]^[3] в течение работ над тождествами Роджерса — Рамануджана^[англ.]. Они являются q-аналогами ультрасферических многочленов и являются многочленами Макдональда^[англ.] для специального случая A₁ аффинной системы корней^[англ.]^[4].

Аски и Исмаил в 1983^[5] и Гаспер и Рахман в 2004^[6] обсуждали свойства многочленов Роджерса в деталях.

Определение править

Многочлены Роджерса можно определить в терминах убывающего символа Похгаммера и базисных гипергеометрических рядов^[англ.]

C_{n}(x;\beta |q)={\frac {(\beta ;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}e^{in\theta }{}_{2}\phi _{1}(q^{-n},\beta ;\beta ^{-1}q^{1-n};q,q\beta ^{-1}e^{-2i\theta })

,

где x = cos(θ).

Richard Askey, Mourad E. H. Ismail. A generalization of ultraspherical polynomials // Studies in pure mathematics. To the memory of Paul Turán. / Paul Erdős. — Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, 1983. — С. 55–78. — ISBN 978-3-7643-1288-6.
George Gasper, Mizan Rahman. Basic hypergeometric series. — Cambridge University Press, 2004. — Т. 96. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-521-83357-8. — doi:10.2277/0521833574.
Macdonald I. G. Affine Hecke algebras and orthogonal polynomials. — Cambridge University Press, 2003. — Т. 157. — (Cambridge Tracts in Mathematics). — ISBN 978-0-521-82472-9. — doi:10.1017/CBO9780511542824.
Rogers L. J. On the expansion of some infinite products // Proc. London Math. Soc.. — 1892. — Т. 24, вып. 1. — С. 337–352. — doi:10.1112/plms/s1-24.1.337.
Rogers L. J. Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1893. — Т. 25, вып. 1. — С. 318–343. — doi:10.1112/plms/s1-25.1.318.
Rogers L. J. Third Memoir on the Expansion of certain Infinite Products // Proc. London Math. Soc.. — 1894. — Т. 26, вып. 1. — С. 15–32. — doi:10.1112/plms/s1-26.1.15.