Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[ 1]
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
(
α
+
1
)
n
n
!
2
F
1
(
−
n
,
1
+
α
+
β
+
n
;
α
+
1
;
1
−
z
2
)
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,\;1+\alpha +\beta +n;\;\alpha +1;\;{\frac {1-z}{2}}\right),}
где
(
α
+
1
)
n
{\displaystyle (\alpha +1)_{n}}
факториала ), и, таким образом, выводится выражение
P
n
(
α
,
β
)
(
z
)
=
Γ
(
α
+
n
+
1
)
n
!
Γ
(
α
+
β
+
n
+
1
)
∑
m
=
0
n
(
n
m
)
Γ
(
α
+
β
+
n
+
m
+
1
)
Γ
(
α
+
m
+
1
)
(
z
−
1
2
)
m
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
Откуда одно из конечных значений следующее
P
n
(
α
,
β
)
(
1
)
=
(
n
+
α
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Для целых
n
{\displaystyle n}
(
z
n
)
=
Γ
(
z
+
1
)
Γ
(
n
+
1
)
Γ
(
z
−
n
+
1
)
,
{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
где
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
гамма-функция , и
(
z
n
)
=
0
для
n
<
0.
{\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\text{для}}\quad n<0.}
Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности
∫
−
1
1
(
1
−
x
)
α
(
1
+
x
)
β
P
m
(
α
,
β
)
(
x
)
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
d
x
=
2
α
+
β
+
1
2
n
+
α
+
β
+
1
Γ
(
n
+
α
+
1
)
Γ
(
n
+
β
+
1
)
Γ
(
n
+
α
+
β
+
1
)
n
!
δ
n
m
,
{\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},}
для
α
>
−
1
{\displaystyle \alpha >-1}
β
>
−
1
{\displaystyle \beta >-1}
Существует отношение симметрии для полиномов Якоби.
P
n
(
α
,
β
)
(
−
z
)
=
(
−
1
)
n
P
n
(
β
,
α
)
(
z
)
;
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\;\alpha )}(z);}
а потому ещё одно значение полиномов:
P
n
(
α
,
β
)
(
−
1
)
=
(
−
1
)
n
(
n
+
β
n
)
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Для действительного
x
{\displaystyle x}
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
∑
s
(
n
+
α
s
)
(
n
+
β
n
−
s
)
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
,
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=\sum _{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}
где
s
⩾
0
{\displaystyle s\geqslant 0}
n
−
s
⩾
0
{\displaystyle n-s\geqslant 0}
В особом случае, когда
n
{\displaystyle n}
n
+
α
{\displaystyle n+\alpha }
n
+
β
{\displaystyle n+\beta }
n
+
α
+
β
{\displaystyle n+\alpha +\beta }
P
n
(
α
,
β
)
(
x
)
=
(
n
+
α
)
!
(
n
+
β
)
!
∑
s
[
s
!
(
n
+
α
−
s
)
!
(
β
+
s
)
!
(
n
−
s
)
!
]
−
1
(
x
−
1
2
)
n
−
s
(
x
+
1
2
)
s
.
{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
Сумма берется по всем целым значениям
s
{\displaystyle s}
Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера
d
m
′
m
j
(
φ
)
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )}
0
⩽
φ
⩽
4
π
{\displaystyle 0\leqslant \varphi \leqslant 4\pi }
d
m
′
m
j
(
φ
)
=
ξ
m
′
m
[
(
s
)
!
(
s
+
μ
+
ν
)
!
(
s
+
μ
)
!
(
s
+
ν
)
!
]
1
/
2
(
sin
φ
2
)
μ
(
cos
φ
2
)
ν
P
s
(
μ
,
ν
)
(
cos
φ
)
{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )}
[ 2] где
μ
=
|
m
−
m
′
|
,
ν
=
|
m
+
m
′
|
,
s
=
j
−
1
2
(
μ
+
ν
)
{\displaystyle \mu =|m-m'|,\nu =|m+m'|,s=j-{\frac {1}{2}}(\mu +\nu )}
Величина
ξ
m
′
m
{\displaystyle \xi _{m'm}}
ξ
m
′
m
=
{
1
,
if
m
≥
m
′
(
−
1
)
m
′
−
m
,
if
m
<
m
′
{\displaystyle \xi _{m'm}={\begin{cases}1,&{\text{if }}m\geq m'\\(-1)^{m'-m},&{\text{if }}m<m'\end{cases}}}
![{\displaystyle [-1,\;1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c317d2853c46f28fa52d2ab1d7f9bd51a253a9b)
![{\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\;\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9b4a34330f840f2f818db107f726d87272c63c)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\varphi )=\xi _{m'm}\left[{\frac {(s)!(s+\mu +\nu )!}{(s+\mu )!(s+\nu )!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\mu }\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}\right)^{\nu }P_{s}^{(\mu ,\;\nu )}(\cos \varphi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ae7bef0c75acfbbb66089f1c0bfd576e9804f6e)
