Многочлен Шабата

Многочлен Шабата — многочлен с не более чем двумя критическими значениями. Многочлены Чебышёва являются важным частным случаем. Названы в честь Георгия Борисовича Шабата.

Дерево многочлена p(x) = x⁶.

Деревья многочленов Чебышёва.

В теории детских рисунков многочленам Шабата соответствуют вложенные деревья на комплексной плоскости — если два критические значения равны $a,b$, то прообраз отрезка $[a;b]$ является вложенным деревом. При этом степень многочлена равна числу рёбер в дереве.

Примеры

• У одночлена p(x) = x^d ноль является единственной критической точкой и также единственным критическим значением. Соответствующий детский рисунок — это звезда, имеющая одну центральную вершину, соединённую с концевыми вершинами.

• Многочленам Чебышёва соответствует путь с длиной, равной степени.

Свойства

Различным вложенным деревьям соответствуют различные многочлены Шабата с точностью до нормировки и линейных преобразований аргумента. Тем не менее, найти этот многочлен по вложенному дереву не просто.

Ссылки

• Юрий Матиясевич, Как рисовать деревья "правильно" (К теории детских рисунков).