Модель Васичека

Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная равновесная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки.

Является простейшей моделью, описывающей процесс с возвратом к среднему уровню.

Описание

Модель предложена Олдржихом Вашичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня.

Эта модель стала первой, учитывающей тенденцию процентных ставок к возврату к среднему (англ. mean reversion): процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет; с другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне.

Недостаток модели Васичека заключается в нормальном распределении, что кроме всего прочего теоретически допускает отрицательные значения ставки (как показала практика ставок в евро, отрицательные ставки хоть и маловероятны, но все-таки возможны).

Математическая модель

Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна — Уленбека):

$dr_{t}=\kappa (\theta -r_{t})dt+\sigma dW_{t}$,

где:

• $W_{t}$ — винеровский процесс
• $\theta$ — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
• $\kappa$ — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению
• $\sigma$ — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.

В 1990 и 1991 годах были представлены модели, соответственно, Блэка — Дермана — Тоя и Блэка — Карасинского, вводящие нестационарную волатильность.

Решение уравнения приводит к следующей модели в интегральной форме:

$r_{t}=r_{0}e^{-\kappa t}+\theta (1-e^{-\kappa t})+\sigma e^{-\kappa t}\int _{0}^{t}e^{\kappa s}dW_{s}$

Отсюда математическое ожидание и волатильность ставки равны:

$E(r_{t})=r_{0}e^{-\kappa t}+\theta (1-e^{-\kappa t})=\theta +(r_{0}-\theta )e^{-\kappa t}~,~~V_{t}(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\kappa }}(1-e^{-2\kappa t})$

Следовательно при $t\rightarrow \infty$ имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность $E(r)=\theta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\kappa }}$

Кривая доходности

Если процесс, описывамый моделью Васичека, задан в риск-нейтральной мере, то стоимость дисконтной облигации с единичным номиналом равна:

$P(t,T)=e^{A(t,T)-B(t,T)r_{t}}$,

где $B(t,T)={1-e^{-\kappa (T-t)} \over \kappa }$, $A(t,T)=(\theta -{\sigma ^{2} \over 2\kappa ^{2}})[B(t,T)-(T-t)]-{\sigma ^{2} \over 4\kappa }B(t,T)^{2}$

Соответственно кривая доходности (срочная структура процентных ставок), соответствующая модели Васичека, в терминах непрерывных ставок $r(t,T)=-{\ln P(t,T) \over T-t}$ имеет вид:

$r(t,T)=r_{\infty }+(r_{t}-r_{\infty }){\frac {1-e^{-\kappa (T-t)}}{\kappa (T-t)}}+{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{-\kappa (T-t)})^{2}}{4\kappa ^{3}(T-t)}}$, $r_{\infty }=\theta -{\sigma ^{2} \over 2\kappa ^{2}}$

В случае если изначально модель Васичека задана в физической вероятностной мере, то формула для кривой аналогична, но величина $r_{\infty }$ увеличивается на слагаемое $\lambda \sigma /\kappa$, где $\lambda$ - так называемая рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.

См. также

• Диффузионные модели динамики краткосрочной ставки
• Модель Халла-Уайта
• Модель Кокса-Ингерсола-Росса