Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

ОпределениеПравить

Случайный процесс  , где   называется винеровским процессом, если

  1.   почти достоверно.
  2.  процесс с независимыми приращениями.
  3.  ,  ,

где  нормальное распределение со средним   и дисперсией  . Величину  , постоянную для процесса, далее будем считать равной  .

Эквивалентное определение:

  1.  гауссовский процесс.
  2.  ,  .
  3.  ,  .

Непрерывность траекторийПравить

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процессаПравить

  •  .
  •   - мартингал. Здесь под мартингалом мы понимаем  
  • Если   — винеровский процесс, то   и  , также будет винеровским.
 
Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса   при уменьшении c.
 

также является винеровским процессом.

  • Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
  • Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
  почти наверное.
  •  

Многомерный винеровский процессПравить

Многомерный ( -мерный) винеровский процесс   — это  -значный случайный процесс, составленный из   независимых одномерных винеровских процессов, то есть

 ,

где процессы   совместно независимы.

Связь с физическими процессамиПравить

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа   при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

СсылкиПравить

См. такжеПравить