Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение править

Случайный процесс $W_{t}$ , где $t\geq 0$ называется винеровским процессом, если

$W_{0}=0$ почти достоверно.
$W_{t}$ — процесс с независимыми приращениями.
$W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))$ , $\forall 0\leq s<t<\infty$ ,

где $\mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(t-s))$ – нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией $\sigma ^{2}(t-s)$ . Величину $\sigma ^{2}$ , постоянную для процесса, далее будем считать равной $1$ .

Эквивалентное определение:

$W_{t}$ – гауссовский процесс.
$\mathbb {E} W_{t}=0$ , $\forall t\geqslant 0$ .
${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$ , $\forall t,s\geqslant 0$ .

Непрерывность траекторий править

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса править

$W_{t}$ — гауссовский процесс.
$W_{t}$ — марковский процесс.
$W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$ . Соответственно $\mathbb {E} [W_{t}]=0$ и $\mathrm {D} [W_{t}]=t$ .

$\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ .
$W_{t}$ и $\exp(W(t)-t/2)$ - мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем $\mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau }$
Если $W_{t}$ — винеровский процесс, то $tW_{1/t},t>0$ и $0,t=0$ , также будет винеровским.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса

V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}

при уменьшении c.

Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если $W_{t}$ — винеровский процесс, и $c>0$ , то

V_{t}={\frac {1}{\sqrt {c}}}W_{ct}

также является винеровским процессом.

Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.

Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.

Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.

Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.

\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1

почти наверное.

$\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Многомерный винеровский процесс править

Многомерный ( $n$ -мерный) винеровский процесс $\mathbf {W} _{t}$ — это $\mathrm {R} ^{n}$ -значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots ,W_{t}^{n}\right)^{\top },\quad t\geq 0

,

где процессы $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots ,n$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами править

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа $\sigma ^{2}$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки править

Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения