Модель мультипликатора-акселератора

Модель мультипликатора-акселератора или модель Самуэльсона-Хикса — динамическая экономическая модель (модель экономических циклов), связывающая экономические циклы с взаимодействием мультипликатора инвестиций (больший рост выпуска по сравнению с вызвавшим его ростом инвестиций) и акселератора (увеличение инвестиций, индуцированное ростом выпуска).

Описание модели

Модель потребительских расходов:

$C_{t}=a_{c}+b_{C}Y_{t-1}$

где $a_{C}>0$ — автономное потребление; $b_{C}$-склонность к потреблению, $0<b_{C}<1$.

Модель инвестиций:

$I_{t}=a_{I}+b_{I}(Y_{t-1}-Y_{t-2})$

где $a_{I}$ — автономные инвестиции, $b_{I}$ — акселератор, определяющий индуцированные инвестиции.

Модель государственных расходов и чистого экспорта

$G_{t}+NX_{t}=a_{GNX}=const$

Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):

$Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t}+NX_{t}$

Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:

$Y_{t}=a_{C}+a_{I}+a_{GNX}+(b_{C}+b_{I})Y_{t-1}-b_{I}Y_{t-2}=a+(b_{C}+b_{I})Y_{t-1}-b_{I}Y_{t-2}$

В стационарном состоянии $Y_{t}=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^{*}$, поэтому

$Y^{*}={\frac {a}{1-b_{C}}}$

Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня $\Delta Y=Y-Y^{*}$. Тогда подставив $Y=Y^{*}+\Delta Y$ в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:

$\Delta Y_{t}=(b_{C}+b_{I})\Delta Y_{t-1}-b_{I}\Delta Y_{t-2}$

Это однородное конечно-разностное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:

$\lambda ^{2}-(b_{C}+b_{I})\lambda +b_{I}=0$

Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень $\lambda ={\sqrt {b_{I}}}$ решение конечно-разностного уравнения имеет вид:

$\Delta Y_{t}=\alpha \lambda ^{t}+\beta t\lambda ^{t}$

В противном случае решение имеет вид:

$\Delta Y_{t}=\alpha \lambda _{1}^{t}+\beta \lambda _{2}^{t}$

В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы).

В случае комплексных корней — они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны $\lambda =\rho e^{\pm i\omega }$ ($\rho ={\sqrt {b_{I}}}$), то $\lambda ^{t}=\rho ^{t}e^{\pm i\omega t}=\rho ^{t}(\cos \omega t\pm i\sin \omega t)$. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:

$\Delta Y_{t}=b_{I}^{t/2}(\alpha _{0}\cos \omega t+\beta _{0}\sin \omega t)$

Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.

См. также

Экономический цикл

Экономические модели