Модель упорядоченного выбора

Модель упорядоченного выбора (упорядоченная регрессия, англ. ordered choice) — применяемая в эконометрике модель с упорядоченной (с ранжированными значениями) дискретной зависимой переменной, в качестве которой могут выступать, например, оценки чего-либо по пятибалльной шкале, рейтинги компаний и т. д. В рамках данной модели предполагается, что количество значений зависимой переменной конечно.

Сущность модели

Пусть $y$ — наблюдаемая дискретная переменная с $q$ возможными упорядоченными значениями, которые для упрощения можно принять равными целым числам от $0$ до $q-1$ (или от $1$ до $q$ ). Пусть также $x$ -вектор факторов, влияющих на значение зависимой переменной. Предполагается, что существует «обычная» (недискретная) скрытая переменная $y^{*}$ , также зависящая от этих факторов, в зависимости от значений которой зависимая переменная принимает те или иные значения. Соответственно необходимо определить (их можно либо задать априорно, либо оценить вместе с другими параметрами модели) несколько пороговых значений скрытой переменной следующим образом:

$y={\begin{cases}1,y^{*}\leqslant c_{1}\\2,c_{1}<y^{*}\leqslant c_{2}\\3,c_{2}<y^{*}\leqslant c_{3}\\...\\q,y^{*}>c_{q-1}\end{cases}}$

Соответственно, если обозначить $p_{i}=P(y=i|X=x)$ , $i=1...q$ , то

p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})

.

где $c_{0}=-\infty$ , $c_{q}=\infty$ .

Для скрытой переменной предполагается обычная линейная модель регрессии по факторам модели: $y^{*}=x^{T}b+\varepsilon$ . Обозначим интегральную функцию распределения случайной ошибки этой модели через $F$ . Тогда

$p_{i}=P(c_{i-1}<y^{*}\leqslant c_{i})=P(c_{i-1}-x^{T}b<\varepsilon \leqslant c_{i}-x^{T}b)=F(c_{i}-x^{T}b)-F(c_{i-1}-x^{T}b)$

С учетом того, что $F(c_{0}-x^{T}b)=0$ , $F(c_{q}-x^{T}b)=1$ фактически модель упорядоченного выбора можно записать следующим образом:

${\begin{cases}p_{1}=F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{2}=F(c_{2}-x^{T}b)-F(c_{1}-x^{T}b)\\p_{3}=F(c_{3}-x^{T}b)-F(c_{2}-x^{T}b)\\...\\p_{q}=1-F(c_{q-1}-x^{T}b)\end{cases}}$

В качестве распределения $F$ обычно используют либо нормальное распределение (упорядоченный пробит), либо логистическое распределение (упорядоченный логит)

Оценка параметров

Оценка параметров модели (включая пороговые значения) производится обычно методом максимального правдоподобия. Логарифмическая функция правдоподобия равна:

$l(b,c)=\sum _{i=1}^{q}\sum _{\forall t,y_{t}=i}\ln p_{i}(x_{t})$

Максимизация этой функции по неизвестным параметрам b и c и позволяет найти соответствующие оценки ММП.

См. также