Открыть главное меню

Ме́тод максима́льного правдоподо́бия или метод наибольшего правдоподобия (ММП, ML, MLE — англ. maximum likelihood estimation) в математической статистике — это метод оценивания неизвестного параметра путём максимизации функции правдоподобия[1]. Основан на предположении о том, что вся информация о статистической выборке содержится в функции правдоподобия. Метод максимального правдоподобия был проанализирован, рекомендован и значительно популяризирован Р. Фишером между 1912 и 1922 годами (хотя ранее он был использован Гауссом, Лапласом и другими).

Оценка максимального правдоподобия является популярным статистическим методом, который используется для создания статистической модели на основе данных и обеспечения оценки параметров модели.

Метод максимального правдоподобия соответствует многим известным методам оценки в области статистики. Например, вы интересуетесь таким антропометрическим параметром, как рост жителей России. Предположим, у вас имеются данные о росте некоторого количества людей, а не всего населения. Кроме того, предполагается, что рост является нормально распределённой величиной с неизвестной дисперсией и средним значением. Среднее значение и дисперсия роста в выборке являются максимально правдоподобными к среднему значению и дисперсии всего населения.

Для фиксированного набора данных и базовой вероятностной модели, используя метод максимального правдоподобия, мы получим значения параметров модели, которые делают данные «более близкими» к реальным. Оценка максимального правдоподобия даёт уникальный и простой способ определить решения в случае нормального распределения.

Метод оценки максимального правдоподобия применяется для широкого круга статистических моделей, в том числе:

  • линейные модели и обобщённые линейные модели;
  • факторный анализ;
  • моделирование структурных уравнений;
  • многие ситуации, в рамках проверки гипотезы и доверительного интервала формирования;
  • дискретные модели выбора.

Сущность методаПравить

Пусть есть выборка   из распределения  , где   — неизвестные параметры. Пусть   — функция правдоподобия, где  . Точечная оценка

 

называется оце́нкой максима́льного правдоподо́бия параметра  . Таким образом оценка максимального правдоподобия — это такая оценка, которая максимизирует функцию правдоподобия при фиксированной реализации выборки.

Часто вместо функции правдоподобия   используют логарифмическую функцию правдоподобия  . Так как функция   монотонно возрастает на всей области определения, максимум любой функции   является максимумом функции  , и наоборот. Таким образом,

 ,

Если функция правдоподобия дифференцируема, то необходимое условие экстремума — равенство нулю её градиента:

 

Достаточное условие экстремума может быть сформулировано как отрицательная определённость гессиана — матрицы вторых производных:

 

Важное значение для оценки свойств оценок метода максимального правдоподобия играет так называемая информационная матрица, равная по определению:

 

В оптимальной точке информационная матрица совпадает с математическим ожиданием гессиана, взятым со знаком минус:

 

СвойстваПравить

  • Оценки максимального правдоподобия, вообще говоря, могут быть смещёнными (см. примеры), но являются состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными оценками. Асимптотическая нормальность означает, что
 

где   — асимптотическая информационная матрица.

Асимптотическая эффективность означает, что асимптотическая ковариационная матрица   является нижней границей для всех состоятельных асимптотически нормальных оценок.

  • Если   — оценка метода максимального правдоподобия, параметров  , то   является оценкой максимального правдоподобия для  , где g — непрерывная функция (функциональная инвариантность). Таким образом, законы распределения данных можно параметризовать различным образом.
  • Также необходимым условием МП-оценок является выполнение системы вида:
     
где   — функция правдоподобия выборки   объёма  

ПримерыПравить

 

Последнее равенство может быть переписано в виде:

 

где  , откуда видно, что своего максимума функция правдоподобия достигает в точке  . Таким образом

 .

Такая оценка будет смещенной:  , откуда  

  • Пусть   — независимая выборка из нормального распределения с неизвестными средним и дисперсией. Построим оценку максимального правдоподобия   для неизвестного вектора параметров  . Логарифмическая функция правдоподобия принимает вид
 .

Чтобы найти её максимум, приравняем к нулю частные производные:

 

откуда

  — выборочное среднее, а
  — выборочная дисперсия.

Применение метода[2]Править

Обработка экспериментаПравить

Предположим, что мы измеряем некоторую величину  . Сделав одно измерение, получили её значение   с ошибкой  :  . Запишем плотность вероятности того, что величина   примет значение  :

 .

Теперь предположим, что мы провели несколько таких измерений и получили  . Плотность вероятности того, что величина   примет значения  , будет:

 .

Эта функция называется функцией правдоподобия. Наиболее вероятное значение измеряемой величины   определяется по максимуму функции правдоподобия. Более удобной является логарифмическая функция правдоподобия:

 .

Продифференцируем логарифмическую функцию правдоподобия по  :

 .

Приравняем   к   и получим некоторое значение  :

 .

Крамер сформулировал следующую теорему:

Теорема: Не существует другого метода обработки результатов эксперимента, который дал бы лучшее приближение к истине, чем метод максимального правдоподобия.

Ошибки измеренийПравить

Предположим, что мы провели серию измерений и получили серию значений  , естественно записать, что это распределение будет иметь гауссовский вид:

 .

Запишем логарифмическую функцию правдоподобия: .

Возьмем первую производную:

 .

Если   , то  . Теперь возьмем вторую производную:

 , откуда

 .

Это называется первой магической формулой[2].

Условный метод максимального правдоподобияПравить

Условный метод максимального правдоподобия (Conditional ML) используется в регрессионных моделях. Суть метода заключается в том, что используется не полное совместное распределение всех переменных (зависимой и регрессоров), а только условное распределение зависимой переменной по факторам, то есть фактически распределение случайных ошибок регрессионной модели. Полная функция правдоподобия есть произведение «условной функции правдоподобия» и плотности распределения факторов. Условный ММП эквивалентен полному варианту ММП в том случае, когда распределение факторов никак не зависит от оцениваемых параметров. Это условие часто нарушается в моделях временных рядов, например в авторегрессионной модели. В данном случае, регрессорами являются прошлые значения зависимой переменной, а значит их значения также подчиняются той же AR-модели, то есть распределение регрессоров зависит от оцениваемых параметров. В таких случаях результаты применения условного и полного метода максимального правдоподобия будут различаться.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Фишер — 1912 г. Математический энциклопедический словарь, М.: Советская энциклопедия, 1988.
  2. 1 2 А.П. Онучин. Экспериментальные методы ядерной физики. — Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2010. — С. 297—303. — 336 с. — ISBN 978-5-7782-1232-9.

ЛитератураПравить

  • Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. — М.: Дело, 2007. — 504 с. — ISBN 978-5-7749-0473-0.
  • Остапенко Р. И. Основы структурного моделирования в психологии и педагогике: учебно-методическое пособие для студентов психолого-педагогического факультета. — Воронеж.: ВГПУ, 2012. — 116 с. — ISBN 978-5-88519-886-8.
  • Никулин М. С. Отношения правдоподобия критерий // Математическая энциклопедия / Виноградов И. М. (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 151. — 1216 с.