Непрерывное отношение предпочтения

Непрерывность отношения предпочтения означает, что если потребитель предпочитает набору $y$ набор $x$, то он также предпочтёт наборам, близким к $y$, наборы, близкие к $x$.

Непрерывность отношения предпочтения обеспечивает также другие «желательные» свойства предпочтений. В частности для непрерывных неоклассических предпочтений существует непрерывная функция полезности, их представляющая. Если непрерывное отношение предпочтения, являющееся также и монотонным, то классы безразличия будут гиперповерхностями (в случае двух товаров — это кривые безразличия).

Формальные определения

Непрерывность можно определить несколькими эквивалентными способами.

• Отношение предпочтения $\succeq$ называется непрерывным, если для произвольного набора $y\in X$ множества ${\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \}}$ и ${\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \}}$ являются замкнутыми. Первое множество содержит все наборы, которые слабо преобладают над $y$ (то есть не хуже $y$), во втором множестве все наборы такие, что $y$ слабо преобладает над ними (то есть они не лучше $y$).

• Отношение предпочтения $\succeq$ называется непрерывным, если для любых сходящихся последовательностей наборов $x_{n}$ и $y_{n}$, таких что $x_{n}\succeq y_{n}$ выполнено также и $x\succeq y$, где x и y — пределы этих последовательностей.

Для неоклассических предпочтений непрерывность нестрогого предпочтения может быть определена одним из следующих эквивалентных свойств строгого предпочтения $\succ$:

• Множество ${\big \{}x\in X:x\succ y{\big \}}$ наборов, лучших $y$, и множество ${\big \{}z\in X:y\succ z{\big \}}$ наборов, худших $y$, должны быть открытыми

• Если $x\succ y$, то существуют окрестности $V_{x}$ и $V_{y}$, такие, что для любых $a\in V_{x}$ и $b\in V_{y}$ выполнено $a\succ b$

Поскольку открытые множества не содержат своих предельных точек, то помимо множества лучших и множества худших, чем $y$ наборов, должно быть ещё множество наборов, которые являются безразличными по отношению $y$ и разделяют первые два множества. Таким образом, из непрерывности следует, что перемещаясь от худшего произвольно выбранного набора $y$ до лучшего $y$, по дороге всегда наткнёмся на набор, безразличный по отношению к $y$.

Классическим примером отношения предпочтения, не являющегося непрерывным, служит лексикографическое отношение предпочтения.

См. также

• Отношение предпочтения
• Монотонное отношение предпочтения
• Выпуклое отношение предпочтения

Литература

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
• Varian, Hal R. Intermediate Microeconomics, WW Norton & Company, 2005.