Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает^[1]: если вещественное число $x>-1$ , то:

(1+x)^{n}\geqslant 1+nx

для всех натуральных

n\geqslant 1.

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x=1+(n+1)x

,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает^[1], что при $x>-1\!\$ и $n\in \mathbb {R}$ :

если $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$ , то $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
если $n\in (0;1)\!\$ , то $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
при этом равенство достигается в двух случаях: $\left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0,n=1\\\forall n\neq 0,x=0\end{matrix}}\right.$

Доказательство

Рассмотрим $f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\$ , причем $x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\$ .
Производная $f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\$ при $x=x_{0}=0\!\$ , поскольку $n\neq 0\!\$ .
Функция $f\!\$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки $x_{0}\!\$ . Поэтому $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\$ . Получаем:

$f''(x)>0\!\$ ⇒ $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ при $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
$f''(x)<0\!\$ ⇒ $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ при $n\in (0;1)\!\$

Значение функции $f(x_{0})=1\!\$ , следовательно, справедливы следующие утверждения:

если $n\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )$ , то $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
если $n\in (0;1]\!\$ , то $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Несложно заметить, что при соответствующих значениях $x_{0}=0\!\$ или $n=0,n=1\!\$ функция $f(x)=f(x_{0})\!\$ . При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на $n\!\$ , заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

Замечания

Неравенство также справедливо для $x\geqslant -2$ (при $n\in \mathbb {N} _{0}$ ), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая $x\in \left[-2,-1\right)$ можно провести тем же методом математической индукции: