Неравенство Бернулли

Нера́венство Берну́лли утверждает: если $x>-1$, то

$(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$ для всех натуральных $n\geqslant 1.$

Доказательство

Доказательство неравенства проводится методом математической индукции по n. При n = 1 неравенство, очевидно, верно. Допустим, что оно верно для n, докажем его верность для n+1:

$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geqslant (1+x)(1+nx)\geqslant (1+nx)+x=1+(n+1)x$,

ч.т.д.

Обобщенное неравенство Бернулли

Обобщенное неравенство Бернулли утверждает, что при $x>-1\!\$ и $n\in \mathbb {R}$:

• если $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$, то $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
• если $n\in (0;1)\!\$, то $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$
• при этом равенство достигается в двух случаях: $\left[{\begin{matrix}\forall x\neq -1,n=0,n=1\\\forall n\neq 0,x=0\end{matrix}}\right.$

Доказательство

Рассмотрим $f(x)=(1+x)^{n}-nx\!\$, причем $x>-1,n\neq 0,n\neq 1\!\$.
Производная $f'(x)=n(1+x)^{n-1}-n=0\!\$ при $x=x_{0}=0\!\$, поскольку $n\neq 0\!\$.
Функция $f\!\$ дважды дифференцируема в проколотой окрестности точки $x_{0}\!\$. Поэтому $f''(x)=n(n-1)(1+x)^{n-2}\!\$. Получаем:

• $f''(x)>0\!\$ ⇒ $f(x)\geqslant f(x_{0})\!\$ при $n\in (-\infty ;0)\cup (1;+\infty )$
• $f''(x)<0\!\$ ⇒ $f(x)\leqslant f(x_{0})\!\$ при $n\in (0;1)\!\$

Значение функции $f(x_{0})=1\!\$, следовательно, справедливы следующие утверждения:

• если $n\in (-\infty ;0)\cup [1;+\infty )$, то $(1+x)^{n}\geqslant 1+nx$
• если $n\in (0;1]\!\$, то $(1+x)^{n}\leqslant 1+nx$

Несложно заметить, что при соответствующих значениях $x_{0}=0\!\$ или $n=0,n=1\!\$ функция $f(x)=f(x_{0})\!\$. При этом в конечном неравенстве исчезают ограничения на $n\!\$, заданные в начале доказательства, поскольку для них исполняется равенство. ■

Замечания

• Неравенство также справедливо для $x\geqslant -2$ (при $n\in \mathbb {N} _{0}$), если исключить случай, когда получается ноль в степени ноль. Доказательство для случая $x\in \left[-2,-1\right)$ можно провести тем же методом математической индукции:

$(1+x)^{n+1}+(1+x)^{n}=(1+x)^{n}(1+x+1)\geqslant (1+nx)(1+x+1)=1+(n+1)x+1+nx(1+x).$

Так как при $x\in \left[-2,-1\right)$ выполняется $(1+x)^{n}\leqslant 1\leqslant 1+nx(1+x)$, то $(1+x)^{n+1}\geqslant 1+(n+1)x$.

Литература

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — изд. 13-е. — М.: Наука, 1985. — 544 с.