Неравенство Швейцера

Неравенство Швейцера гласит следующее

Для любых вещественных чисел , принадлежащих отрезку , где , имеет место неравенство

Более того, если нечётно, то

ИсторияПравить

Это неравенство было опубликовано в 1914 г. в статье [1] венгерского математика Швейцер, Миклош (венг. Schweitzer Miklós). Имеется английский перевод этой статьи в приложении к работе[2]. Поскольку до появления английского перевода со статьёй Швейцера мало кто был знаком, неравенство (вторую его часть) обычно связывают[3] с именем Александру Йоана Лупаша, который доказал[4] это неравенство почти на 60 лет позже Швейцера.

Равносильные неравенстваПравить

  • (В. Серпинский[5]) Для любых положительных чисел   верно
 

где через A и G обозначены соответственно среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел  .

СледствияПравить

  • (О. Шиша[6]) Для любых вещественных чисел  , принадлежащих отрезку  , где  , верно неравенство:
 
  • (Z.-C. Hao). Вещественные числа   принадлежат отрезку  , где  . При условии   и   имеет место неравенство:
 

ОбобщенияПравить

ПримечанияПравить

  1. Schweitzer P. Egy egyenlőtlenség az arithmetikai középértékről (неопр.) // Math. és. Phys. Lapok.. — 1914. — Т. 23. — С. 257—261. (венг.) («Неравенство, содержащее среднее арифметическое»)
  2. Watson G. S., Alpargu G., Styan G. P. H. Some comments on six inequalities associated with the inefficiency of ordinary least squares with one regressor (англ.) // Linear Algebra and its Appl. : journal. — 1997. — Vol. 264. — P. 13—54. — DOI:10.1016/S0024-3795(97)00228-0.
  3. Mitrinović D. S., Pečarić J. E., Fink A. M. Classical and new inequalities in analysis. Mathemaics and its Applications (англ.). — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group, 1993. — Vol. 61. — (East European Series).
  4. Lupaş A. A remark on the Schweitzer and Kantorovich inequalities (неопр.) // Publ. Elek. Fak. Univ. Beograde, Ser. Mat. i Fiz.. — 1972. — Т. 381—409. — С. 13—15.
  5. Sierpiński W. Über eine auf das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel sich beziehende Ungleichung (нем.) // Warsch. Sitzungsber. : magazin. — 1909. — Bd. 2. — S. 354—367. (нем.)
  6. Shisha O. Inequalities I (неопр.). — New York-London, 1967. — С. 293—308.

ИсточникПравить