Образ меры под действием отображения

Образ меры — естественная конструкция дающая меру на области значений отображения по мере на области определения. Если представлять себе меру как распределение массы, а отображение как перенос точкек из одного пространства в другое, то масса множества это суммарная масса попадающих в него точек.

Образ меры $\mu$ отображения $f$ обычно обозначается $f_{*}\mu$, но иногда используется обозначение $f_{\#}\mu$.

Определение

Пусть задано измеримое отображение $f:(X,\Sigma _{1})\to (Y,\Sigma _{2})$ измеримых пространств и мера $\mu$ на $(X,\Sigma _{1})$, её образом под действием $f$ называется мера $f_{*}\mu$ на $(Y,\Sigma _{2})$, определённая как

$(f_{*}\mu )(A)=\mu (f^{-1}(A))\quad \forall A\subset Y,\,A\in \Sigma _{2}.$

Свойства

Для функции $f\colon X\to Y$ между метрическими пространствами, снабжённых борелевскими $\sigma$-алгебрами, меру можно рассматриваеть как функционал на непрерывных ограниченных функциях. В этом случае определение образа меры может быть переписано как

$\int \limits _{Y}\varphi \,d(f_{*}\mu )=\int \limits _{X}\varphi \circ f\,d\mu .$

для любой непрерывной функции $\varphi$ с компактым носителем.

См. также

• Инвариантная мера