Обратная параболическая интерполяция

Обратная параболическая интерполяция — итерационный численный метод нахождения корня уравнения , где  — непрерывная функция одной переменной. Идея метода состоит в параболической интерполяции функции по трём точкам. Но в отличие от метода Мюллера интерполируется функция обратная к . Метод эффективнее более простых методов, если функция дважды дифференцируема. Алгоритм используется в качестве составной части популярного метода Брента.

МетодПравить

Алгоритм обратной параболической интерполяции задаётся рекуррентной формулой:

 
 

где  . Как следует из формулы, для начала вычислений необходимы три начальные точки   и желательно, но не обязательно, чтобы корень находился в задаваемом ими отрезке.

Доказательство формулы методаПравить

Рассмотрим три точки   как значения функции от аргументов  . Интерполяционный многочлен Лагранжа для этих точек будет выглядеть следующим образом

 
 

Поскольку мы ищем корень   , то   и эта замена даёт искомую рекуррентную формулу.

СходимостьПравить

Если функция достаточно гладкая, начальные точки близки к корню и корень не является экстремумом, то метод сходится очень быстро. Порядок асимптотической сходимости метода около 1,8. Однако иногда метод не эффективен или вообще не приводит к результату. В частности, если два значения функции случайно совпали, то продолжение итераций невозможно. Этот недостаток устраняется комбинированием метода с более робастными методами меньшей скорости сходимости, что, в частности, сделано в методе Брента.


Сравнение с другими методамиПравить

Обратная параболическая интерполяция тесно связана с методом Мюллера, который имеет примерно такой же порядок сходимости и с методом секущих, порядок сходимости которого меньше. В отличие от метода Ньютона, который имеет большую скорость сходимости (2), метод не требует вычисления производных.

СсылкиПравить