Обсуждение:Аксиома выбора

Untitled

я все же не понимаю, что означает "вполне-упорядочивание". а если множество вещественных можно упорядочить по возрастанию, допустим, не одним -- а несколькими способами? а если не несколькими, а бесконечным множеством способов? по-моему, если нет процедуры сравнения - больше/меньше, которая позволила бы упорядочить ДВА вещественных числа ОДНИМ ЕДИНСТВЕННЫМ способом, то нет смысла дальше что-то там говорить. -- 89.209.73.42 18 августа 2012 11:22.

Определение

«Для каждого семейства $\{X_{\alpha }\}_{\alpha \in A}$ непустых непересекающихся множеств существует множество $B$, имеющее один и только один общий элемент c каждым из множеств $X_{\alpha }$» - в определении вначале говорится о каждом семействе, а в конце - просто о множестве (без семейства). И что такое А?

Fractaler 15:10, 14 октября 2008 (UTC)

Понапридумывали значков всяких, что простым смертным людям пирходится часами смотреть на них, чтобы понять о чем там написано (это я о кванторах). Привыкли выражаться сухими математическими абстрактными терминами, что теперь простую аксиому объяснить обычному человеку не смогут. А ведь даже в садике умеют обучать складыванию на яблоках (которыми Петя и Маша угощают друг дружку).

Вот слабо связать эту абстракщину с вещами из нашего (пусть и трехмерного) мира?

Непобедимыч 05:19, 24 ноября 2009 (UTC)

А пустое множество это ничто?91.205.25.30 16:05, 16 сентября 2011 (UTC)

> $\exists m\in P\;\forall x\in P\;m\leqslant x\to m=x$ — максимальный элемент.

$x\leqslant m$, не? 112.165.52.139 13:56, 18 февраля 2013 (UTC)

Применение

"Например, пусть — это множество непустых подмножеств действительных чисел." - множества из этого семейства пересекаются. Значит, здесь нельзя применить аксиому выбора, и пример некорректен. 176.195.57.65 20:06, 1 июня 2013 (UTC)

Спасибо за замечание. Приведенная ранее в статье формулировка была неточной, кто-то зря вставил слово «непересекающихся». Я поместил строгую формулировку из Математической энциклопедии. LGB 10:24, 2 июня 2013 (UTC)

Untitled

Не явно выделена формулировка теоремы Цермело. -- 19:46, 5 марта 2016‎ Zeddikus.

Запрос уточнения

Нельзя ли пояснить для не-математиков? Ну, хотя бы для физиков после Физфака. Что утверждает аксиома? Что в любом непустом множестве можно указать конкретный элемент? А некоторые математики с этим не согласны? Но, вообще-то, на вид - эта задача не математическая, а лингвистическая: она полностью вытекает из определения терминов "указать", "конкретный" и "элемент".
Или не совсем так? А как тогда? Зачем усложнение в виде "семейства X" и "функции f"? И, раз такое дело, нельзя ли проиллюстрировать ясным примером? Скажем, в детсадовской группе 19 ребят, к празднику каждый пришёл с кульком конфет, и... Что тут может постулировать аксиома выбора? --Michael MM (обс.) 07:39, 19 марта 2018 (UTC)

• Популярная лекция. Вкратце: «некоторые математики» не согласны считать допустимым объектом выбранное множество, о котором ничего нельзя определённо сказать, нельзя даже указать ни одного его элемента. LGB (обс.) 10:19, 19 марта 2018 (UTC)

• Спасибо! Только... Пожалуйста, не сочтите за наглость - а подобного популярного текста нет? А то видео - самая неудобная, медленная и нечёткая форма подачи. И, главное - я ведь не только о себе, я имел в виду, чтобы статья, если можно, стала чуть больше похожа на энциклопедическую, а не на специальный математический справочник. Ну, поймите правильно, мне вот сейчас даже Ваше "выбранное множество" непонятно - кем выбрано, зачем выбрано, о чём это вообще. И кому может помешать, что "нельзя даже указать ни одного его элемента" - сказано же, что непустое, это уже очень много: значит, хоть один элемент точно есть. Надо будет - разберёмся, откроем ящик, заглянем и достанем, например, функцию f применим. Хотя, вне сомнения, Вашему коллеге по профессии - очевидно, в чём загвоздка. С уважением, --Michael MM (обс.) 13:48, 19 марта 2018 (UTC)

• Тогда почитайте книгу Мориса Клайна «Математика. Утрата определённости». Там честно, понятно и довольно подробно рассказано и об аксиоме выбора, и о других проблемах математики. Скачать её — не проблема. LGB (обс.) 14:03, 19 марта 2018 (UTC)

• Спасибо! А... насчёт статьи? Ну, чтобы хоть немножко понятнее. И пример... Я ведь не из упрямства, честно, только чтобы хорошее стало ещё лучше. --Michael MM (обс.) 14:35, 19 марта 2018 (UTC)

• Это уже не комне, я не являюсь основным автором статьи. Кто возьмётся? LGB (обс.) 15:13, 19 марта 2018 (UTC)

• Наверное может помочь пример, когда аксиома выбора приводит к неожиданным следствиям. Мой любимый пример: задача о бесконечном числе шляп (см. en:Hat puzzle#Countably Infinite-Hat Variant without Hearing и [1]). Бесконечному числу мудрецов надели каждому по шляпе неизвестного цвета и посадили в ряд на места 1,2,3 ..., так чтобы каждый видел шляпы сидящих перед ним (т.е., на местах с большим номером). Мудрецам надо независимо друг от друга попытаться отгадать цвет своей шляпы. Могут ли мудрецы до начала испытания договориться так, чтобы лишь конечное число мудрецов ошиблось? Кажется это невозможно, так как мудрецы не могут переговариваться, а информация о шляпах следующих мудрецов ничего не говорит о цвете своей шляпы. Тем не менее из аксиомы выбора следует, что ответ положительный! Как вы думаете, стоит ли добавить этот пример? — Алексей Копылов 23:20, 19 марта 2018 (UTC)

• Алексей, вообще-то хотелось бы сперва понять, какие следствия "ожидаемые", пусть тривиальные. Просто уяснить, что же именно этой аксиомой утверждается, не буду повторять свои слова выше, в самой первой реплике. А что до Вашего вопроса об уместности в качестве иллюстрации задачи про мудрецов и шляпы - я не могу ответить, коль скоро не понимаю предмета. Если это та задача, где цвета известны заранее, опрашивают по порядку по возрастанию номеров, ответом может быть только цвет из перечня, и ответы слышат все (либо, если бесконечная слышимость невозможна - вроде, надо ещё, чтобы каждый знал свой номер при рассадке, не вижу с ходу, как это обойти) - то эта задача просто имеет явное и понятное решение, не вижу, зачем тут аксиома выбора. --Michael MM (обс.) 06:56, 20 марта 2018 (UTC)
• Виноват, поторопился. В известном мне решении при бесконечном числе мудрецов и не бесконечной дальности видимости шляп и слышимости ответов - число ошибающихся тоже бесконечно. Просто это фиксированная доля от общего числа - 1/100, или 1/1000000 - смотря какая видимость-слышимость. (Да и при бесконечной дальности - оперировать бесконечными числами всё равно невозможно, так что в любом случае.) Если благодаря аксиоме выбора можно договориться, что в бесконечном опросе ошибётся лишь конечное число - очень интересно (и, наверное, для статьи полезно), но по-английски не осилю. --Michael MM (обс.) 07:37, 20 марта 2018 (UTC)

• Там смысл в том, что мудрецы не слышат друг друга: им надо отвечать, не имея никакой информации, кроме шляп впереди (при этом видимость бесконечная). Решение такое: если считать, что два распределения шляп "похожи", если они отличаются лишь конечным числом цветов, то множество всевозможных распределений шляп разделится на классы похожих шляп. По аксиоме выбора существует функция, которая каждому классу эквивалентности ставит в соответствие элемент этого класса. Мудрецы могут договориться об этой функции. Каждый мудрец, видя шляпы перед собой, знает какому классу эквивалентности принадлежит распределение шляп. Поэтому они все будут знать некоторое распределение шляп, которое отличается от реального не более чем в конечном числе мест. А поэтому они смогут сделать лишь конечное число ошибок. — Алексей Копылов 09:44, 20 марта 2018 (UTC)

• Круто. Каждое слово знаю, а всё целиком - всё равно что на китайском. В такие минуты особенно ярко сознаёшь своё ничтожество. Но я ещё подумаю. Во всяком случае - наверное, это хороший пример для статьи. А на мой дилетантский вопрос - может быть, ответите? Процитирую свой текст: "Что утверждает аксиома? Что в любом непустом множестве можно указать конкретный элемент? Или не совсем так? Зачем усложнение в виде "семейства X" и "функции f"? И, раз такое дело, нельзя ли проиллюстрировать ясным примером? Скажем, в детсадовской группе 19 ребят, к празднику каждый пришёл с кульком конфет, количество в кульках не обязательно у всех одно и то же, и сами конфеты могут быть не все одинаковыми - и в одном кульке (кульки собраны родителями от души, без системы), и у разных детей (родители ходили в разные магазины с не полностью совпадающим ассортиментом), и... Что тут может постулировать аксиома выбора?" --Michael MM (обс.) 10:30, 20 марта 2018 (UTC)
  • Да, именно это она и утверждает: "в любом непустом множестве можно указать конкретный элемент". То есть если Дед Мороз не дарил никому пустого мешка, то каждый ребенок может выбрать из своего кулька по конфете. Для группы из 19 ребят аксиома не нужна - для конечного числа кульков она выводится из остальных. В том числе и для одного кулька, поэтому надо говорить о семействе множеств (т.е. просто о множестве множеств). Смысл аксиомы в том, что для произвольного множества кульков это нельзя доказать, используя остальные аксиомы. Аксиому нужно формулировать на формальном языке, где нет слов "можно указать", поэтому нужно слово "функция". — Алексей Копылов 18:00, 20 марта 2018 (UTC)

определение vs. иллюстрация

любуясь на рекомендации выше — «почитать что-то», где написано (ещё ;-) понятней, изумляюсь: разве вики-статьи не призваны быть самодостаточными для начального представления о предмете статьи? По существу, не смог понять: иллюстрация — рамочного определения? тогда, где в определении S_i? и случайно ли на картинке совпадение индексов x_i и S_i? и можно ль в определении после «<…>каждому множеству семейства» поставить уточнение x_i (раз начали с X)? С извинениями за тугоум и благодарностью, ·1e0nid· (обс.) 12:40, 25 сентября 2018 (UTC)