Обсуждение:Аксиомы Пеано

"Формализация арифметики"

В статье написано: "Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводит число 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:..." Это вздор! Операции сложения и умножения вводятся ни как аксиомы, а как алгебраические операции, для которых выполняются те правила, которые в статье названы аксиомами. Далее доказываются единственность, существование и однозначность этих алгебраических операций. Какие же это аксиомы? О том, что я написал можно почитать, напрмер, здесь. - в книжке Демидова И.Т. "Основания арифметики". Необходимо переписать! 94.229.98.4 16:45, 6 февраля 2012 (UTC)

• Что значит вводятся как операции? Арифметика Пеано — это теория первого порядка, с константным символом 1 и трëмя функциональными символами S, + и *. Называть их можно как угодно: функции, операции и тд, но суть в том, что арифметика Пеано — это лишь формальная система, где указанные операции представляют собой не более чем символы языка. Их можно интерпретировать как операции, а можно интерпретировать по-другому, никто не мешает. То, что вы назвали правилами, в аксиомы арифметики Пеано входят. От того, что вы их будете называть правилами, а не аксиомами, суть не меняется. Вообще операции в формальных системах вводятся либо как сокращение для некоторых термов системы, либо с помощью аксиом. За этим отсылаю вас к основаниям математики Гильберта, где он, кстати говоря, говорит именно про арифметику Пеано. Arami Mira (обс.) 14:05, 24 мая 2022 (UTC)

'0 есть натуральное число'

Практически во всей иностранной литературе и на Википедии аксиомы Пеано начинаются с "0 есть натуральное число". Действительно в первоисточнике написано "1 есть натуральное число". Однако, в 1897 году Пеано вносит изменения, и меняет 1 на 0. Это написано в 'Formulaire de mathematiques', Tome II - №2. стр 81. Это ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (фр).

Пояснения к этим изменениям даются в 'Rivista di matematica', Volume6-7, 1899, стр 76. Также ссылка на электронный вариант на нужной странице:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (итал).

--Natashoek 04:02, 21 января 2013 (UTC)

Раз в литературе встречаются оба варианта, то не стоит ли нам об обоих вариантах в статье упомянуть? Arami Mira (обс.) 13:56, 24 мая 2022 (UTC)

Ошибка в разделе о неполноте

В разделе о неполноте идет речь об утверждениях которые нельзя ни доказать ни опровергнуть в рамках формальной системе, содержащей арифметику. Очевидно, речь идет о первой теореме о неполноте. Далее приводиться в пример теорема Гудстейна. Но в статье о ней речь идет о второй теореме о неполноте, поэтому нужно либо убрать упоминание о теореме Гудстейна либо переформулировать чтобы был ясен логический переход.