Обсуждение:Дзета-функция Римана

Untitled

Статью, думаю, стоит немного прояснить для нематематиков, многим она может быть абсолютно непонятна.--Solon 09:11, 28 октября 2005 (UTC)

Было бы интересно прочитать, для чего вообще нужна эта функция? Или это математика для математики?--Solon 09:05, 28 октября 2005 (UTC)

Через нее доказывается асимптотический закон распределения простых чисел. Обобщение дзета-функции используется для доказательства теоремы Дирихле — в любой арифметической прогрессии с взаимно простыми разностью и первым членом есть бесконечное число простых чисел. halyavin 09:16, 28 октября 2005 (UTC)

Спасибо. Я имел в виду, написать об этом попонятнее в самой статье. --Solon 10:41, 28 октября 2005 (UTC)

Применение

Есть ли возможность расписать применение данной функции более простым языком?94.51.213.250 17:58, 12 апреля 2009 (UTC)

Она в таких задачах применяется, что простым языком не обойдёшься :) А что именно интересует? Mir76 07:46, 13 апреля 2009 (UTC)

Как это понимать ?

Действую по определению. Беру s = - 2

1 + 1/2**(-2) + 1/3**(-2) + ... = 1 + 4 + 9 + ... Очевидно - бесконечность ...

Какие простые нули ? — Эта реплика добавлена с IP 93.80.122.91 (о) 19:29, 13 июня 2009 (UTC)

Я так понимаю, что не надо просто подставлять, а нужно рассматривать предел по каким-нибудь комплексным траекториям. Значение конечно в смысле аналитического продолжения. infovarius 21:19, 13 июня 2009 (UTC)

• Для ряда Дирихле, что в преамбуле - да - бесконечность.
• Для аналитического продолжения ряда Дирихле, что и есть дзета-функция - разные значения.
• Ряд Дирихле в преамбуле это не совсем определение, а скорее мотивация для аналитического продолжения в какую-то другую функцию, которую и называют дзета-функция.
• Популяризаторы на этом конечно не акцентируют ради вау-эффекта. Нужно очень хорошо подбирать ВП:АИ для таких тем в ВП. Halfcookie (обс.) 01:42, 30 января 2023 (UTC)

Представление в виде ряда годится для s больше 1 и об этом пишется в любой книге в первую очередь. Нужно строить аналитическое продолжение функции. Приведу пример для s больше 0 Z(s) = s/(s-1)-s*[сумма n от 1 до бесконечности](интеграл от n до n+1) по {(x-n)*x^(-s-1)dx} Используя гамма функцию можно продолжать для s больше -1,-2 и т.д. 109.126.51.121 12:35, 4 июля 2010 (UTC) Archi

гипотеза Римана

написано-

Таким образом, согласно гипотезе Римана, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали .. и лежат в полосе .., которая называется критической полосой, то есть находятся на прямой 1 / 2 + it.

правильнее так - (без "Таким образом") согласно гипотезе Римана, все нетрив.нули являются комп. числами, обладают свойством симметрии относительно вещественной оси, и лежат на прямой- 1/2 +it, в середине полосы ... называемой крической полосой. А то написано что гипотеза Римана говорит о том что нули находятся в полосе, а она говорит не о этом а о том, что они находятся на прямой (середине полосы). AlexeyT2 18:16, 29 сентября 2010 (UTC)

Асимптотика

Не найду, из какой формулы следует. Эмпирически у меня получилось: $\zeta (x)\sim {\frac {1}{1-e^{0.187586-0.699827x}}}$ при $x\to \infty$. infovarius 11:45, 4 октября 2010 (UTC)

График

Здесь похоже неправильный график. Тот который "Качественный график дзета-функции Римана на действительной оси". Мне Mathematica построила что-то похожее, но несколько смещённое и растянутое. В тексте написано, что при Re s < 0 нули только в точках -2, -4 итд, а на графике есть ещё ноль около -0.2 109.198.217.96 15:08, 26 октября 2011 (UTC)

Согласен. Залил правильный график. Поскольку в отрицательной части значения совсем крохотные, пришлось увеличить масштаб там. --infovarius 20:16, 3 апреля 2012 (UTC)

Ряд и график

То, что написанный ряд не соответствует верхнему графику уже писали. Но, ИМХО, если уж дзета-функция на отрицательных числах задается не этим рядом, а аналитическим продолжением, может, знающие люди его напишут?

Дзета-функция Римана

Перенесено со страницы Обсуждение участника:Alexei Kopylov#Дзета-функция Римана. — Алексей Копылов 03:05, 5 января 2019 (UTC)

В статье трудно понять область сходимости ряда, очевидно, при вещественном s от 0 до <= 1 ряд расходится, а в статье - сходится за исключением точки s = 1. Или я что-то не понимаю? И сходится ли в полосе комплексной плоскости при Re s от 0 до <1? Вы, как математик, сможете это пояснить? Д.Ильин (обс.) 15:08, 1 января 2019 (UTC),

• В статье не сказано, что ряд сходится. Сказано, что ряд сходится если вещественная часть больше 1. Но функцию можно продолжить на всю плоскость. По-моему, всё правильно хотя я не специалист по этой теме и могу ошибаться. Кроме того подписи к рисункам вроде были правильны: дзета функция принимает действительные значения при действительном аргументе. Поэтому я вернул подписи как были. — Алексей Копылов 03:10, 5 января 2019 (UTC)

Как связаны нетривиальные нули этой функции и простые числа?

Искал, но не нашел. Если кто найдет, можно написать в статью или сюда ссылку.— Guest 2015 10 (обс.) 19:50, 10 июня 2020 (UTC)

См. Гипотеза Римана. Leonid G. Bunich / обс. 06:56, 11 июня 2020 (UTC)

Я обнаружил фразу "Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих x, — функция распределения простых чисел pi(x) — выражается через распределение нетривиальных нулей дзета-функции", но не нашел этой формулы. — Guest 2015 10 (обс.) 19:19, 11 июня 2020 (UTC)

Функциональной связи нетривиальных нулей дзета-функции и простых чисел нет, здесь имеется в виду формулы, приведенные в en:Riemann hypothesis#Origin, в русском разделе это перевести поленились, и напрасно. Кроме того, если не ошибаюсь, похожие формулы я встречал в последних главах книги Дербишира. Leonid G. Bunich / обс. 10:27, 12 июня 2020 (UTC)

Ассмптотическтое разложение

Похоже в ассиптотической формуле №3 ошибка коэффициент не 5/12, а 1/12 см. статью Asymptotic_expansion (хотя там тоже ошибка в первой сумме надо суммировать до N и неправильные знаки первых двух "поправок").

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N}n^{-s}-{\frac {N^{1-s}}{s-1}}-{\frac {N^{-s}}{2}}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {B_{2m}s^{\overline {2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}}$

В формуле ассимптотического разложения используются числа Бернули, первое четное число Бернули равно 1/6, так что 1/12.

Пример геометрического представления приближенного уравнения дзета-функции Римана

Kkapitonets (обс.) 20:01, 20 июля 2020 (UTC)