Обсуждение:Импликация

Может лучше вместо "по своему применению приближенная к союзам «если… то…»." написать "по своему применению a->b означает «следует ли из истинности a истинность b?»." --79.164.233.197 22:59, 8 апреля 2009 (UTC)

a->b как раз утверждает, а не ставит под сомнение, что "из истинности a следует истинность b". Так что нет особых причин менять формулировку. --Avosco^ΤΟΛΚ 18:11, 10 апреля 2009 (UTC)

основная проблема обсуждаемой фразы состоит в том, сто в ней нет места для результата импликации... но даже если согласиться с этой формулировкой, то приближенная к союзам: если "А" то "Б" 95.139.182.187 07:28, 16 ноября 2009 (UTC)

Житейский смысл импликации совершенно не ясен, нет логического обоснования, а посему приводить его нельзя.

85.26.186.98 21:36, 19 ноября 2011 (UTC)Некий шаман

Извините, если вписал своё мнение не в тот шаблон. Пока ни одного HTML-шаблона тут не вижу.

30 лет занимаюсь разработкой электроники, в том числе и цифровой, и программируемой, но так и не понял, какую именно "логику" имеют ввиду авторы. В результате статья пока что ни о чём. Я что, должен по таблицам угадывать логическую схему? Или всё-таки нарисуете нормальную, с обозначениями каждого логического элемента "|" и "&"? А Ваша картинка справа вверху очень похожа на схему, но таковой не является: Вы бы ещё по стандарту IEEE её нарисовали, чтоб всех шпионов окончательно запутать. )))

217.69.221.99 07:11, 13 октября 2020 (UTC) С уважением, 10:08 13.10.2020 (по Москве) К.В.Н.

Дополнение к статье "Импликация"

Бинарная операция $A\rightarrow B$, называемая импликацией, вызывает самые большие трудности у лиц, которые начинают овладевать логикой.

Я попытаюсь объяснить, почему таблица истинности для импликации имеет следующий вид:

$I\to I\Leftrightarrow I$ (Высказывание "Истина влечёт истину." есть истина.)

$I\to O\Leftrightarrow O$ (Высказывание "Истина влечёт ложь." есть ложь.)

$O\to I\Leftrightarrow I$ (Высказывание "Ложь влечёт истину." есть истина.)

$O\to O\Leftrightarrow I$ (Высказывание "Ложь влечёт ложь." есть истина.)

Один из 4-х постулатов классической логики называется "Законом исключенного третьего" (Tertium non datum). Согласно этого закона, достоверность любого разумного высказывания равна либо истине, либо лжи.

NB

Достоверность высказывания "$1>0$" равна истине.

Достоверность высказывания "$1\neq 1$" равна лжи.

Cуществуют неразумные высказывания (например: "Вроде бы идёт дождь.", "Одному Богу известно, женится ли он на мне.", "Много будешь знать, скоро состаришься."),

Высказывания можно сравнивать не только по достоверности, но и по содержанию (по смыслу).

Если два высказывания имеют одинаковый смысл, тогда они имеют одинаковую достоверность; обратное не верно. Например, высказывания "Мамонты вымерли." и "Волга впадает в Каспийское море." имеют одинаковую достоверность, но разный смысл.

Руководствуясь "Законом исключенного третьего", математики договорились о том, что в математической логике достоверность любой формулы должна быть равна истине либо лжи. В частности, истинной либо ложной должна быть формула $A\to B$, если каждая из её подформул $A$ и $B$ - истинна либо ложна.

Формула $A\to B$ произносится: "A влечёт В.", "Из А следует В.", "Если А, то В.".

Поскольку формула $A\to B$ произносится: "А влечёт В.", постольку математики вынуждены были ответить на вопрос, какова достоверность формул:

$I\to I$ ("Истина влечёт истину.", "Из истины следует истина.",...)

$I\to O$ ("Истина влечёт ложь.", "Из истины следует ложь.",...)

$O\to I$ ("Ложь влечёт истину.", "Из лжи следует истина.",...)

$O\to O$ ("Ложь влечёт ложь.", "Из лжи следует ложь.",...)

Отвечая на указанный вопрос, математики сразу пришли к выводу о том, что высказывание "Истина влечёт истину." есть истина, а высказывание "Истина влечёт ложь." есть ложь.

Далее математики задались вопросом о том, как следует понимать два оставшихся высказывания, а именно "Ложь влечёт истину." и "Ложь влечёт ложь.".

Математики получили ответ на последний вопрос методом перебора всех мыслимых случаев:

1. Предположим, что высказывание "Ложь влечёт истину." есть ложь, и высказывание "Ложь влечёт ложь" есть ложь. В таком случае таблица истинности примет вид:

$I\to I\Leftrightarrow I$

$I\to O\Leftrightarrow O$

$O\to I\Leftrightarrow O$

$O\to O\Leftrightarrow O$

Но такая таблица истинности идентична таблице истинности бинарной операции $A\land B$ (А и В). Мы же хотим иметь дело с операцией $A\rightarrow B$ (Если А, то В.) Поэтому приходится признать неразумными предположения о том, что "Ложь влечёт истину." есть ложь, и "Ложь влечёт ложь" есть ложь.

2. Предположим, что высказывание "Ложь влечёт истину." есть истина, а высказывание "Ложь влечёт ложь" есть ложь. В таком случае таблица истинности примет вид:

$I\to I\Leftrightarrow I$

$I\to O\Leftrightarrow O$

$O\to I\Leftrightarrow I$

$O\to O\Leftrightarrow O$

Но такая таблица истинности идентична таблице истинности бинарной операции $A$ ° $B$ ("Даже если А, то В.", "В, несмотря на А."). Мы же хотим иметь дело с операцией $A\rightarrow B$ (Если А, то В.) Поэтому приходится признать неразумными предположения о том, что "Ложь влечёт истину." есть истина, и "Ложь влечёт ложь" есть ложь.

3. Предположим, что высказывание "Ложь влечёт истину." есть ложь, a высказывание "Ложь влечёт ложь" есть истина. В таком случае таблица истинности примет вид:

$I\to I\Leftrightarrow I$

$I\to O\Leftrightarrow O$

$O\to I\Leftrightarrow O$

$O\to O\Leftrightarrow I$

Но такая таблица истинности идентична таблице истинности бинарной операции $A\leftrightarrow B$ ("Ежели А, то В", "A если и только если В."). Мы же хотим иметь дело с операцией $A\rightarrow B$ (Если А, то В.) Поэтому приходится признать неразумными предположения о том, что "Ложь влечёт истину." есть ложь, и "Ложь влечёт ложь" есть истина.

4. Предположим, что высказывание "Ложь влечёт истину." есть истина, и высказывание "Ложь влечёт ложь" есть истина. В таком случае таблица истинности примет вид:

$I\to I\Leftrightarrow I$

$I\to O\Leftrightarrow O$

$O\to I\Leftrightarrow I$

$O\to O\Leftrightarrow I$

Указанная таблица истинности совпадает с самой первой из таблиц. И поскольку все мыслимые предположения исчерпаны, мы вынуждены признать разумными предположения о том, что "Ложь влечёт истину." есть истина, и "Ложь влечёт ложь" есть истина.

Учащемуся следует понять, что предложение "Если А, то В." лучше всего моделируется формулой $A\rightarrow B$, если: 1) её подформула А - истинна либо ложна, 2) её подформула В - истинна либо ложна, 3) сама формула - истинна либо ложна в соответствии с указанной выше таблицей истинности.

Осознав формулу $A\rightarrow B$ как математическую модель предложения "Если А, то В.", учащийся не должен удивляться парадоксам типа $(A\rightarrow B)\lor (B\rightarrow A)\Leftrightarrow I$.

Примечание: Никакая математическая модель какой-либо реальности не совпадает с этой реальностью.

Зато учащийся может рассматривать импликацию $A\rightarrow B$ как формулу, которая "унаследовала" часть своих свойств от каждой из формул $A\land B,\ A$ ° $B,\ A\leftrightarrow B$. Математически такое "наследование" выражается в виде:

$A\land B\Leftrightarrow A\land (A\rightarrow B)\Rightarrow A\rightarrow B.$

$A$ ° $B\Leftrightarrow (A\rightarrow B)\land B\Rightarrow A\rightarrow B.$

$A\leftrightarrow B\Leftrightarrow (A\rightarrow B)\land (B\rightarrow A)\Rightarrow A\rightarrow B.$

Также, учащийся может принять к сведению, что импликация связана с конъюнкцией следующим образом:

Высказывание "А не влечёт В." $\Leftrightarrow A\land \neg B\Leftrightarrow \neg (A\rightarrow B)$

Высказывание "Если бы А, то В." $\Leftrightarrow \neg A\land \neg B\Leftrightarrow \neg (\neg A\rightarrow B)$

Наконец, учащийся может принять к сведению, что импликация связана с дизъюнкцией следующим образом: $A\rightarrow B\Leftrightarrow \neg A\lor B$

Различия в определениях русской и немецкой терминологии

Так, в немецкой математической литературе под словом импликация понимается объединение двух логических выражений:

(A => B)

И уже такое, полученое с помощью импликации выражение, называется Subjunktion. Однако, такого определения в русской терминологии мне не встретилось.

178.2.132.0 20:41, 11 октября 2011 (UTC)

Истинность импликации с ложным

Nashev 06:48, 13 февраля 2014 (UTC):

Как понимать принятие за истину утверждения, что "если ложь, то хоть ложь, хоть истина"? Почему, если у утверждения с импликацией антецедент ложный, то само это утверждение считается истинным независимо от истинности консеквента?

В общем, необходимо в статье описать 1) как это понимать, 2) как так получилось, 3) как с этим удавалось жить, 4) какие проблемы, кроме сложности интуитивного понимания, из этого вышли, и 4), самое обширное - какие именно варианты ухода от этой беды были предложены и почему ни один из них не принят нынче за широко применяемый общепризнанный корректный подход.

Для затравки приведу здесь цитату, в которой не сказано и малой части того, что можно и нужно сказать по этому поводу:

Импликация материальная - импликация в трактовке логики классической. Для установления истинности И. м. "Если А, то В" достаточно выяснить истинностные значения высказываний А и В. И. м. истинна в трех случаях: 1) ее основание и ее следствие истинны; 2) основание ложно, а следствие истинно; 3) и основание и следствие ложны. Только в одном случае, когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна. При установлении истинности И. м. не предполагается, что высказывания A и В связаны между собой по содержанию. В случае истинности В высказывание "Если A, то В" истинно, независимо от того, является A истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет. Истинными считаются, напр., высказывания: "Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четыре", "Если Волга - озеро, то Токио - большой город" и т. п. Условное высказывание истинно также тогда, когда А ложно. При этом опять-таки безразлично, истинно В или нет и связано оно по содержанию с A или нет. К истинным относятся, напр., высказывания: "Если Солнце - куб, то Земля - треугольник", "Если дважды два равно пять, то Токио - маленький город" и т. п. В обычном рассуждении все эти высказывания вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные. Очевидно, что И. м. плохо согласуется с обычным пониманием условной связи.

В классической логике И. м. является формальным аналогом условного высказывания. Но, схватывая многие важные черты "логического поведения" условного высказывания, И.м. не является достаточно адекватным его описанием. Ряд законов классической логики, содержащих И. м. и не согласующихся с обычными, или интуитивными, представлениями о логических связях, получил название парадоксов материальной импликации (см.: Парадоксы импликации). В числе этих парадоксов закон Дунса Скота (парадокс ложного высказывания), парадокс истинного высказывания и др. В последние полвека были предприняты энергичные попытки реформировать теорию импликации. При этом речь шла не об отказе от И. м., а о введении наряду с нею другого понятия импликации, учитывающего не только истинностные значения высказываний, но и связь их по содержанию. Наибольшую известность среди таких "неклассических" импликаций получили строгая импликация и релевантная импликация (см.: Логическое следование). Теории "неклассических" импликаций являются сужениями классической логики, выступающей в качестве своего рода предельного их случая. Польский логик А. Тарский отмечал: "...в настоящее время представляется почти несомненным, что теория И.м. превзойдет все другие теории в простоте, и во всяком случае не надо забывать, что логика, опирающаяся на это простое понятие, оказалась вполне пригодной основой для самых сложных и тонких математических рассуждений".

— Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС. А.А.Ивин, А.Л.Никифоров. 1997.

материальная, строгая, релевантная и т.п. варианты

В статье не разделены практически совсем, их свойства даны вперемешку. Необходимо разделить и разложить по полочкам. --Nashev 07:30, 13 февраля 2014 (UTC)

Импликация и следствие

В том разделе у нас написано: Не следует путать импликацию (→) и логическое следование (⇒). Импликация, как логическое выражение может сама принимать значения истины или лжи. Логическое же следование A ⇒ B, утверждает, что во всех случаях, когда формула А — истина, B — тоже будет истина.

Ну вот мы написали A⇒B, а потом оказалось, что A истинно, а B ложно. Значит, A⇒B ложно. В чём тогда разница между A→B и A⇒B?    В общем-то A→B точно так же утверждает, что во всех случаях, когда формула А — истина, B — тоже будет истина. — Monedula 10:50, 4 июня 2015 (UTC)

Импликация не подразумевает причинную связь между посылкой и заключением

Абзац

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением

Не верен. Пример - "А - если дважды два четыре; B - Токио большой город."

Раздел "Программирование"

Почитал и мне кажется там полный треш написан. Во-первых при чем тут делфи и с++ билдер, во вторых замена условия (!(a)||b) на (a & b) не эквивалентна от слова совсем.

• Согласен. Про функциональные языки тоже что-то неясное написано. Удалил этот раздел. — Алексей Копылов 18:13, 19 февраля 2020 (UTC)

implicatio — «связь»

Происходит от лат. implicatio «сплетение», от лат. implicāre «вплетать, впутывать», далее из in- «в» + plicāre «складывать, свёртывать». Allexxis (обс.) 21:24, 11 августа 2021 (UTC)