Обсуждение:Символ Леви-Чивиты

Склонение

Мне кажется, по-русски все же надо Леви-Чивиту склонять. Вроде это, с одной стороны, достаточно часто делается практически, с другой, иначе напоминает родительный падеж от "Чивит". Может быть, правда, я ошибаюсь, и несколько отстал от моды...

Т.е. предложение изменить название статьи на "Символ Леви-Чивиты".

Сергей Сашов91.122.83.208 23:40, 15 января 2008 (UTC)

Ещё бы узнать, на какую гласную падает ударение (в итальянском произношении) ... Если на последнюю - то склонять точно не надо. Мы произносили со склонением, но в то же время произносили и "метод Рунге-Кутта", так что надо ещё исследовать этот вопрос... infovarius 14:12, 16 января 2008 (UTC)

Верно. Я-то понадеялся поначалу на то, что ударение обычное для итальянского (как произносили люди вживую - как следует не помню, да и полагаться на это трудно). Пришлось тогда теперь лезть в бумажный словарь. Но всё так и есть: ударение на предпоследнем слоге, и в "Леви" и в "Чивита". Так что, если словарь не ошибается ...

С другой стороны, вижу, что в интернете, похоже, в 2-3 раза преобладает несклоняемый вариант. Хочется думать, что это всё же не стало абсолютной нормой, а просто неосознанное влияние английского итд... Как Ньютон на последнем слоге из-за французкого, наверное, в свое время : )

А с методом "Рунге-Кутта" - да, однако. У нас тоже никогда не склоняли. Но именно из-за этого я до сего дня даже мысли не имел, что он "Кутта", а не "Кутт". Интересно. Тенденция, похоже... 91.122.20.66 05:57, 17 января 2008 (UTC)

Кстати, в бумажном словаре - действительно "Кутты" написано. Может быть, он уже устарел... : )

• В итальянском ударение на предпоследний слог, если оно не проставлено специально над гласной последнего слога. Так что нужно склонять. AndyVolykhov ^↔ 22:52, 19 января 2008 (UTC)

Обозначение

Э${}_{ijk}$

- я не встречался с обозначением Э, оно действительно применяется? Что касается начертания епсилона как на картинке, я его вставил выше...

Сергей Сашов

Вроде у нас встречалось... Попробую найти в книгах. infovarius 14:12, 16 января 2008 (UTC)

ну, тогда можно бы и восстановить. Разве только это что-то вроде шутки было в узком кругу, тогда, наверное, в википедии бы не стоило. По сети Э вроде не ищется, на первый взгляд, по крайней мере. Может быть, еще, это при переписке по эл.почте вместо \epsilon русское э пишут для краткости и читаемости... 91.122.20.66 05:56, 17 января 2008 (UTC)

Определение через смешанное произведение

Всё же очевидно какие угодно векторы для определения $\epsilon _{ijk}$ через смешанное произведение брать нельзя, иначе придется не равенство, а пропорциональность писать, или на объем делить, даже если он и не ноль. Я там расширил в более-менее разумных пределах, раз уж только ортонормированного базиса кажется для этого опредления мало. Сергей Сашов 78.37.225.138 18:03, 17 января 2008 (UTC)

Сюда же

В случае линейных преобразований координат с неединичным детерминантом в принципе есть две возможности обозначений : 1) сохранить обозначение $\varepsilon _{ijk}$ для представления тензора (при этом значения его компонент перестают иметь единичный модуль) или 2) сохранить за символом $\varepsilon _{ijk}$ смысл величины, компоненты которой имеют именно единичное по абсолютной величине значение (как в определении выше), но тогда она уже не будет тензором относительно этих преобразований, и для тензора придется выбрать полностью другое обозначение или добавить к $\varepsilon _{ijk}$ множитель, равный объему параллелепипеда, построенного на базисных векторах (для ортонормированных базисов и базисов, полученных из первых преобразованием с единичным детерминантом, этот множитель равен единице).

Автору этого абзаца выше, какой из путей более принят (кажется, все же второй? - ради сохранения первого определения), и это хотелось бы уточнить. — Это неподписанное сообщение было добавлено 91.122.121.221 (обс · вклад) 

В общем, пока не заглядывая в книги, я вспоминаю, что единичный детерминант вообще слабо связан с сабжем (точнее говоря, только в ортонормированных координатах), а общее определение как раз через смешанное произведение координатных векторов. Надо взяться, и написать в этом духе... infovarius 16:41, 19 января 2008 (UTC)

Т.е. всё же кажется, что определение 2 более хорошее? ну, по крайней мере оно точно встречается, а встречается ли альтернативное (1), т.е. где компоненты ε всегда +1,0,-1, я за пределами базисов с $\ {\sqrt {g}}=1$ не могу поручиться.

В смысле первое. Когда это тензор, но без сохранения единиц. infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)

Тогда новое простое определение $\ \epsilon _{ijk...}$ = ${\sqrt {g}}\ \varepsilon _{ijk...}\$, где $\ \epsilon$ - это новое определение, а $\ \varepsilon$ - это старое определение начала статьи со значениями +1,0,-1 (компоненты нового $\epsilon$ тогда принимают значения 0,±${\sqrt {g}}$, а тогда кстати с верхними индексами новое $\ \epsilon ^{ijk...}$ = $1/{\sqrt {g}}\varepsilon _{ijk...}\$ .

И тогда символ эпсилон - (псевдо-)тензор для любых преобразований базиса.

Если так, то все формулы для (гипер-)площадей и объемов, что там в статье ниже, через свертку с эпсилон, будут совсем правильными без оговорок и поправок, а со старым - либо ограничивать случаем ${\sqrt {g}}=1$ надо, либо этот ${\sqrt {g}}$ туда явно вносить.

Что касается связи детерминанта с эпсилон, то там подразумевается стандартный базис, и определение тут совпадает со старым... Хотя, наверное, оговорка нужна про то, что подразумевается (что метрика единичная).

Тогда выходит, можно переписывать первое определение не через +1,0,-1, а через ${\sqrt {g}},0,-{\sqrt {g}}$ ? Или всё же кто-то видел употребление символа всегда с +1,0,-1, независимо от того, равен ли ${\sqrt {g}}$ единице или нет? Сергей Сашов91.122.121.221 20:12, 19 января 2008 (UTC)

Хотя можно, как в английской версии статьи, сначала подробно всё расписать для ортонормированных базисов, а в конце (чего там, вроде, нет) - уже с общим видом метрики? Честно говоря, не знаю, как лучше: если сначала через ортонормированный, то вроде начинающим более понятно и постепеннее всё, зато сразу общий случай - компактнее, очевидно, повторов, наверное, многих можно избежать... Сергей Сашов 91.122.121.221 20:19, 19 января 2008 (UTC)

Я думаю, что лучше ввести общее определение (причём я бы ввёл просто как $\varepsilon _{ijk}={\vec {R}}_{i}\cdot ({\vec {R}}_{j}\times {\vec {R}}_{k})$ - нас так учили), а потом упомянуть в частных случаях - ПДСК, может ещё цилиндрическую и сферическую... infovarius 20:48, 19 января 2008 (UTC)

Если ${\vec {R}}_{i},{\vec {R}}_{j},{\vec {R}}_{k}$ - базисные векторы того базиса, представление в котором тензора Л-Ч мы хотим иметь, то всё в порядке, вроде всё согласуется.

Я уже переписал параграф с определениями так, чтобы всё это согласовалось, и поправил дальше, где заметил. (На порядке и стиле не настаиваю).

Но всё же у меня остаются сомнения по поводу такого определения символа. Ведь старое (для ортонормированных итп базисов) обладало тем замечательным преимуществом, что символ был совершенно универсальным и никак от базиса не зависел! А хороший настоящий (псевдо-)тензор тогда записывался бы через этот старый единичный символ очень просто: домножением его на скаляр корень из g, в котором сосредоточена вся зависимость от базиса!

Вот $\ \delta _{ij}$ - тоже ведь тензор относительно вообще ничего, кроме ортогональных преобразований, но символ простой, хороший, а если надо обобщить - то уже другая буква берется: $\ g_{ij}$.

Впрочем, раз $\ \varepsilon$ называется тензором, так пусть действительно будет тензор - относительно всего. А уж "единичность" его пусть можно глазами увидеть только в подходящем выделенном классе базисов. Наверное, действительно, так корректнее; да и примеров противоположной трактовки (для произвольных базисов, конечно) мне так и не удалось припомнить. Вполне возможно, что действительно, в отличие от дельты, так никто с эпсилоном не делает. Серг.Сашов91.122.121.221 21:38, 19 января 2008 (UTC)

По-моему, следует четко разделить понятия "тензор Леви-Чивиты" и "символ Леви-Чивиты". Символом $\ \varepsilon _{ijk}$ назван именно потому, что он не тензор и всегда принимает значения +1,0,-1 независимо от базиса. Вспомните, что символы Кристоффеля тоже тензорами не являются. Сейчас в статье наблюдается путаница именно из-за отсутствия такого четкого разделения. Кстати, в работе http://rdt45m.narod.ru "символ Леви-Чивиты" именуется "символом Веблена", чтобы отличить его от тензора. И, кстати, в ссылке на Hermann R. указано, что на стр. 31 дано определение символа, а в тексте самой работы речь идет о тензоре. (195.182.154.82 14:48, 16 февраля 2010 (UTC))

Упомянутая выше работа http://rdt45m.narod.ru издана в виде книги: Речкалов В.Г.

Векторная и тензорная алгебра для будущих физиков и техников: учеб. пособие для вузов / В.Г. Речкалов. – Челябинск: ИИУМЦ "Образование", 2008. – 140 с., ISBN 978-5-98314-303-6 http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Rechkalov2008ru.pdf (195.182.154.82 09:01, 17 февраля 2010 (UTC)))

Жирный шрифт vs стрелочки для векторов

Надо бы эти обозначения как-то упорядочить. А то и вовсе одно что-то выбрать в пределах статьи.

Сейчас как-то совсем беспорядочно то и другое перемешано, даже в соседних строках!

Вопросы - 1) что лучше? 2) делать ли различие в этих обозначениях для трехмерного и общего случаев? 91.122.121.221 22:02, 19 января 2008 (UTC)

У меня предпочтений нет. Встречал поровну и так и так. Но конечно надо привести к одному виду. Наверное, нагляднее стрелочки (да и ТеХ-команда короче :) ). infovarius 22:43, 19 января 2008 (UTC)

Векторное произведение.

А не будет ли правильнее писать ${\vec {e}}_{i}$ как вектора базиса вместо ${\vec {e}}^{i}$? Ну и компоненты получившегося вектора писать как $S^{i}$ вместо $S_{i}$? Prijutme4ty 19:34, 16 ноября 2008 (UTC)

С ВП:СО#Символ Леви-Чивиты

Если система координат подвергается преобразованию четности, то координаты истинных векторов $a_{j}$ и $b_{k}$ заменяются на $-a_{j}$ и $-b_{k}$. Если при этом, как сказано в статье, в левом базисе компоненты $\epsilon _{ijk}$ будут противоположны тем, что в правом, то формула для компонент векторного произведения $[a\times b]_{i}=\sum _{j,k}\epsilon _{ijk}$ даст значения, противоположные тем, что были в правом базисе. Этого быть не должно -- по определению псевдовектора (каковым является векторное произведение) значения не должны менять знак при таком преобразовании. Насколько я понимаю, переопределение $\epsilon _{ijk}$ должно сопровождаться введением знака минус перед правой частью формулы векторного произведения, либо $\epsilon _{ijk}$ не надо переопределять. Автор сообщения: 85.140.21.180 13:18, 7 июля 2011 (UTC)

формулы подправлены мной 212.92.187.84 08:54, 8 июля 2011 (UTC)