Обсуждение:QR-разложение

Никого не смущает прямоугольная треугольная матрица??? 176.14.169.138 17:21, 23 июня 2011 (UTC)

Это значит что $A_{ij}=0$ если $j<i$ (для верхнетреугольной). Добавьте комментарий в статью, если вас это смущает. -- X7q 17:26, 23 июня 2011 (UTC)

Да ерунду вы написали. Почитайте англоязычный вариант статьи или любой учебник по линейной алгебре. 95.26.143.27 17:45, 23 июня 2011 (UTC)

В чем ерунда и как по вашему должно быть? И просьба приводить конкретные ссылки, конкретные учебники, номера страниц по возможности, вместо расплывчатого "почитайте". -- X7q 17:52, 23 июня 2011 (UTC)

В англовики: "we can factor a complex m×n matrix A, with m ≥ n, as the product of an m×m unitary matrix Q and an m×n upper triangular matrix R". Та же ерунда? -- X7q 17:54, 23 июня 2011 (UTC)

1) "QR-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта"

2) http://itmages.ru/image/view/217768/02f93b3e

страничка из "Линейная Алгебра и Аналитическая геометрия" Ильин, Ким

3) "Верхнетреугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю."

4) Допустим у нас есть матрица A(i,j)

1 0 0

0 2 0

0 0 3

0 0 0

Да, все элементы, где i>j равны нулю, но это всё равно противоречит определинию в п. 4 (взятого с вики)

Короче говоря, определение QR разложения в нынешнем виде противоречит определениям,данным в самой же вики.

5) В англоязычной вики надо было прочитать весь абзац.

More generally, we can factor a complex m×n matrix A, with m ≥ n, as the product of an m×m unitary matrix Q and an m×n upper triangular matrix R. As the bottom (m−n) rows of an m×n upper triangular matrix consist entirely of zeroes, it is often useful to partition R, or both R and Q.:

$A=QR=Q{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Q_{1},Q_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\0\end{bmatrix}}=Q_{1}R_{1},$

where R₁ is an n×n upper triangular matrix, Q₁ is m×n, Q₂ is m×(m−n), and Q₁ and Q₂ both have orthogonal columns.

И именно вторая форма записи с Q1, R1 правильная относительно определения "triangular matrix". 95.26.143.27 18:11, 23 июня 2011 (UTC)

Термин треугольная действительно довольно часто используют только для квадратных матриц. Однако это точка зрения не единственная. Есть источники, где треугольной называют и прямоугольную матрицу. Вот например в справке к матлабу. Так что я не согласен с вашим высказыванием, что это неправильно. Если вам не комфортно от такого употребления термина, предлагаю вам добавить пояснение в статью о том, что в ней имеется в виду под верхнетреугольной матрицей - именно это и сделали в англовики. -- X7q 18:34, 23 июня 2011 (UTC)

Вы, видимо, случайно не заметили первые два пункта и последний. Особенно не комфортно мне то, что в русской статье матрицы A и Q имеют разный размер,а матрицы А и Q обязательно должны иметь одинаковую размерноcть, иначе это уже не будет результатом процесса ортогонализации Грама ― Шмидта

Треугольность прямоугольной матрицы не так меня возмущает. 95.26.143.27 18:51, 23 июня 2011 (UTC)

• Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 3rd ed., на стр. 223 тоже дают определение с A размером mxn (правда, она там вещественная, но это не важно). Я полагаю, что в данном случае лучше расширить определение верхнетреугольной матрицы, чем ограничивать применимость метода. Что касается Грама-Шмидта, то там же на стр 231 дается модифицированный вариант метода, а квадратность матрицы не требуется. РоманСузи 16:34, 3 сентября 2012 (UTC)