QR-разложение

-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.

ОпределениеПравить

Матрица   размера   с комплексными элементами может быть представлена в виде:

 

где   — унитарная матрица размера  , а   — верхнетреугольная матрица размера  .

В частном случае, когда матрица   состоит из вещественных чисел,   является ортогональной матрицей (то есть  , где   — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения:  -,  -, и  -разложения, где   — нижнетреугольная матрица.

СвойстваПравить

Если   — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное  -разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы   должны быть положительными вещественными числами.

АлгоритмыПравить

 -разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Альтернативные алгоритмы для вычисления  -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.

Пример QR-разложенияПравить

Рассмотрим матрицу:

   

Через   обозначим векторы-столбцы заданной матрицы   Получаем следующий набор векторов:

     

Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:

     

Из полученных векторов   составляем по столбцам матрицу Q из разложения:

  Полученная матрица является ортогональной, это означает, что  

Найдем матрицу   из выражения  :

  – искомая верхнетреугольная матрица.

Получили разложение