Общая тауберова теорема Винера

Общая тауберова теорема Винера — теорема об асимптотических свойствах линейных преобразований функций, имеющих не равное нулю преобразование Фурье. Была доказана Норбертом Винером в 1932 году.

Формулировка

Пусть $K_{1}$ — функция из пространства $L_{1}$, преобразование Фурье которой не обращается в нуль ни в одной точке оси $(-\infty ,\infty )$. Пусть $K_{2}$ принадлежит $L_{1}$, а функция $f(x)$ ограничена на промежутке $(-\infty ,\infty )$. Если $\lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{1}(x)dx(1)$, то $\lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x-y)f(y)dy=A\int \limits _{-\infty }^{\infty }K_{2}(x)dx(2)$. С другой стороны, пусть $K_{1}$ — функция из пространства $L_{1}$, преобразование Фурье которой имеет вещественный нуль. Тогда найдется ограниченная функция $f(x)$ и функция $K_{2}(x)$, принадлежащая $L_{1}$, такая, что $(1)$ выполняется, а $(2)$ не имеет места.

Пояснения

Здесь $L_{1}$ — обозначает пространство вещественных неограниченных функций, для которых существует предел $\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{A,B\to -\infty }\int \limits _{a}^{b}f_{A,B}(x)dx$.

Литература

• Норберт Винер. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. — Физматлит, 1963. — 256 с.