Оптическая теорема

Оптическая теорема — соотношение в волновой теории рассеяния, связывающее амплитуду рассеяния и сечение рассеяния .

Оптическая теорема формулируется следующим образом:

где  — амплитуда рассеяния вперёд,  — полное сечение рассеяния,  — волновой вектор падающей волны. Так как теорема является следствием закона сохранения энергии (в квантовой механике — вероятности), то она является довольно общим утверждением, имеющим широкую область применения.

Более общий вид теоремы:

ДоказательствоПравить

Асимптотический вид амплитуды рассеяния на больших расстояниях:

 

где   — направление падения частиц,   — направление рассеяния.

Любая линейная комбинация функций   с различными направлениями падения также представляет некий возможный процесс рассеяния. Умножив   на произвольные коэффициенты   и проинтегрировав по всем направлениям  , получим такую линейную комбинацию в виде интеграла

 

Поскольку расстояние   велико, то множитель   в первом интеграле является быстро осциллирующей функцией направления переменного вектора  . Значение интеграла определяется потому в основном областями вблизи тех значений  , при которых показатель экспоненты имеет экстремум ( ). В каждой из этих областей множитель   можно вынести за знак интеграла, после чего интегрирование даёт

 

Перепишем это выражение в более компактном виде, опустив общий множитель  :

 

где

 

а   — интегральный оператор:

 

Первый член волновой функции описывает сходящуюся к центру, а второй — расходящуюся от центра волну. Сохранение числа частиц при упругом рассеянии выражается равенством полных потоков частиц в сходящихся и расходящихся волнах. Другими словами, эти волны должны иметь одинаковую нормировку. Для этого оператор рассеяния   должен быть унитарным, то есть

 

или (с учётом выражения для  ):

 

Наконец, учитывая определение  , получаем утверждение теоремы:

 

ЛитератураПравить