Основная теорема дифференциальной геометрии кривых

Основная теорема дифференциальной геометрии кривых описывает гладкие кривые в трёхмерном евклидовом пространстве с точностью до конгруэнтности.

Формулировка

Пусть $s\mapsto \kappa (s)$ и $s\mapsto \tau (s)$ — две гладкие функции, определённые на интервале $\mathbb {I}$. Предположим, что $\kappa (s)>0$ для всех $s$. Тогда существует гладкая кривая с единичной скоростью $\gamma \colon \mathbb {I} \to \mathbb {R} ^{3}$ с кривизной $\kappa (s)$ и кручением $\tau (s)$ при любом $s\in \mathbb {I}$. Более того, $\gamma$ однозначно определена с точностью до движения пространства, сохраняющего ориентацию.

Вариации и обобщения

• Для описания плоских кривых достаточно знать ориентированную кривизну кривой.
• В размерностях выше 3 требуются аналоги кручения высших порядков.

Литература

• Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.

• Чернавский, А. В. Дифференциальная геометрия, 2-й курс.