Особое решение

Осо́бое реше́ние обыкновенного дифференциального уравнения — понятие теории обыкновенных дифференциальных уравнений, чаще всего связанное с уравнениями не разрешенными относительно производной. Существует несколько определений особых решений, не всегда эквивалентных друг другу. Одно из наиболее распространенных в настоящее время определений следующее.

Определение

Рассмотрим уравнение

$F(x,y,y')=0,\ \ \ (1)$

где $F(x,y,p)$ — $C^{1}$-гладкая функция в некоторой области $G\subseteq {\mathbb {R} ^{3}}_{(x,y,p)}$. Решение $y=\psi (x),x\in \mathrm {I} \subseteq \mathbb {R} ,$ называется особым решением уравнения (1), если каждая точка $(x_{0},\psi (x_{0})),x_{0}\in \mathrm {I} ,$ соответствующем ему интегральной кривой является точкой локальной неединственности решения задачи Коши с начальным условием

$y(x_{0})=\psi (x_{0}),\ \ \ y'(x_{0})=\psi '(x_{0})$.

Другими словами, в каждой точке $(x,y)$ особое решение касается другого решения, которое не совпадает с ним тождественно ни в какой сколь угодно малой окрестности этой точки.

Свойства

• Особое решение (точнее, его график) является огибающей семейства интегральных кривых уравнения (1).

• Дискриминантная кривая уравнения (1) — это множество (например, кривая или совокупность кривых, но также бывает и точкой или пустым множеством) на плоскости переменных $(x,y)$, задаваемое уравнениями $F(x,y,p)=F_{p}(x,y,p)=0$. Особое решение уравнения (1), если оно существует, всегда содержится в дискриминантной кривой этого уравнения. Дискриминантная кривая может состоять из нескольких кривых, обладающих разными свойствами, некоторые из них могут быть графиками особых решений, а некоторые могут и не быть. Обратное не верно: дискриминантная кривая не обязательно является решением уравнения (а если является, то не обязательно особым).

• Из сказанного выше следует, что для практического отыскания особых решений уравнения конкретного уравнения нужно сначала найти его дискриминантную кривую, а затем проверить, является ли она (каждая её ветвь, если их несколько) особым решением уравнения (1), или нет.

Примеры

1. Дискриминантная кривая уравнения Чибрарио $(y')^{2}=x$ — координатная ось $x=0$ — является не решением, а геометрическим местом точек возврата его интегральных кривых.

2. Дискриминантная кривая уравнения $(y')^{2}-y^{2}=0$ — координатная ось $y=0$ — является решением этого уравнения, но его график не пересекается ни с какими другими интегральными кривыми этого уравнения, поэтому это решение не является особым.

Особые решения дифференциальных уравнений (жирные линии): уравнения Клеро (слева) и уравнения $(y')^{2}=y$ (справа).

3. Простыми примерами дифференциальных уравнений, имеющих особые решения, являются уравнение Клеро и уравнение $(y')^{2}=y$, неособые решения которого задаются формулой $y={\frac {1}{4}}(x-c)^{2}$ с постоянной интегрирования $c$, а особое решение имеет вид $y=0$.

4. Дискриминантная кривая уравнения $(y')^{2}=4y^{3}(1-y)$ состоит из двух непересекающихся ветвей: $y=1$ и $y=0$. Обе они являются решениями этого уравнения. Однако первая из них является особым решением, а вторая — нет: в каждой точке линии $y=1$ она касается какой-либо другой интегральной кривой этого уравнения, а к линии $y=0$ интегральные кривые лишь приближаются асимптотически при $x\to \infty$.

Литература

• Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
• Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 2000.
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — М.: Физматлит, 2001.
• Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. — М.: УРСС, 2004, 2007.
• Павлова Н.Г., Ремизов А.О. Введение в теорию особенностей. — М.: Изд-во МФТИ, 2022. — 181 с. — ISBN 978-5-7417-0794-4.