Нормальная форма Чибрарио

Нормальная форма Чибрарионормальная форма дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки. Название предложено В. И. Арнольдом в честь итальянского математика Марии Чибрарио, установившей эту нормальную форму для одного класса уравнений[1][2][3].

Связанные определенияПравить

Особые точкиПравить

Пусть дифференциальное уравнение имеет вид

  где  

Функция   предполагается вещественной, гладкой класса   (или аналитической) по совокупности всех трёх переменных. Особые точки такого уравнения — это точки трёхмерного пространства с координатами  , лежащие на поверхности, задаваемой уравнением  , в которых производная   обращается в нуль, т. е. проектирование   поверхности   на плоскость переменных   вдоль направления оси   нерегулярно. В общем случае множество особых точек образует на поверхности   кривую, называемую криминантой. Проекция криминанты на плоскость   называется дискриминантной кривой, её точки тоже часто называют особыми точками уравнения, хотя при этом возможна неточность: при проектировании   различным точками поверхности   может соответствовать одна и та же точка плоскости переменных  [1][4][5].

Поднятие уравненияПравить

Дифференциальное соотношение   задает в пространстве   поле контактных плоскостей  . Пересечение контактных плоскостей с плоскостями, касательными к поверхности  , задает на последней поле направлений (определенное во всех точках, где контактные и касательные плоскости не совпадают друг с другом). Интегральные кривые построенного таким образом поля являются 1-графиками решений исходного уравнения, а их проекции на плоскость   — графиками решений[4][5]

 
Поднятие уравнения на поверхность

Описанная конструкция исследования уравнений, не разрешённых относительно производной, восходит к третьему мемуару А. Пуанкаре «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» (1885); в современной математической литературе она часто называется поднятием уравнения на поверхность[3].

Теорема о нормальной формеПравить

Простейшими особыми точками уравнения   являются так называемые регулярные особые точки, в которых проектирование   имеет особенность, называемую складкой Уитни, и контактная плоскость не касается поверхности   Это равносильно выполнению в данной точке условий:

 

Теорема. В окрестности регулярной особой точки уравнение   с гладкой (или аналитической) функцией   гладко (соответственно, аналитически) эквивалентно уравнению

 

называемому нормальной формой Чибрарио[1][4][5].

В 1932 году Чибрарио получила эту нормальную форму, исследуя характеристики уравнения с частными производными второго порядка смешанного типа[2].

ПримерыПравить

Нормальная форма Чибрарио является характеристическим уравнением для уравнения Трикоми

 ,

относящегося к эллиптическому типу в полуплоскости   и к гиперболическому — в полуплоскости  .

 
Семейство решений в нормальной форме Чибрарио

Уравнение   легко интегрируется: графики его решений образуют семейство полукубических парабол[4][5]

 

заполняющих полуплоскость  , точки возврата которых лежат на дискриминантной кривой — оси  .

Аналогичным образом выглядят асимптотические линии двумерной поверхности в евклидовом пространстве в окрестности типичной параболической точки. Нормальная форма Чибрарио соответствует также простейшим особенностям поля медленного движения в быстро-медленных динамических системах[6].

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
  • Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
  • Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889–906.

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1. — гл. 1, пар. 7.
  2. 1 2 Cibrario M. Sulla reduzione a forma canonica delle equazioni lineari alle derivative parzialy di secondo ordine di tipo misto, — Rend. Lombardo 65 (1932), pp. 889—906.
  3. 1 2 Ремизов А.О. Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений, ― СМФН, 19 (2006), 131–170.
  4. 1 2 3 4 Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
  5. 1 2 3 4 Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — гл. 1, пар. 4.
  6. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5