Асимптотическая кривая

(перенаправлено с «Асимптотическая линия»)

Асимптотическая кривая (асимптотическая линия) — кривая на гладкой регулярной поверхности в евклидовом пространстве, в каждой точке касающаяся асимптотического направления поверхности , т.е. такого направления, в котором нормальное сечение поверхности имеет нулевую кривизну. Так как нормальные сечения с нулевой кривизной существуют не во всех точках поверхности, то и асимптотические линии, вообще говоря, заполняют не всю поверхность. Асимптотическая кривая определяется дифференциальным уравнением

где вторая фундаментальная форма поверхности .

Три типа точек поверхностиПравить

Точки, в которых гауссова кривизна  , называются гиперболическими (примером поверхности, целиком состоящей из гиперболических точек, служит однополостный гиперболоид или гиперболический параболоид); точки, в которых гауссова кривизна  , называются эллиптическими (примером поверхности, целиком состоящей из эллиптических точек, служит эллипсоид или двуполостный гиперболоид); точки, в которых гауссова кривизна  , но средняя кривизна  , называются параболическими (примером поверхности, целиком состоящей из параболических точек, служит конус или цилиндр). Параболические точки, как правило, образуют кривую, разделяющую поверхность на эллиптическую и гиперболическую области.

В области эллиптических точек асимптотических линий нет. В области гиперболических точек имеется ровно два семейства асимптотических линий, составляющие так называемую асимптотическую сеть: через каждую гиперболическую точку проходит по одной линии каждого семейства, они пересекаются под ненулевым углом. В параболических точках асимптотические линии имеют, как правило, особенность типа точки возврата (касп) и представляют собой полукубические параболы, лежащие (за исключением самой точки возврата) в гиперболической области, примыкающей к параболической линии.

СвойстваПравить

  • Соприкасающаяся плоскость асимптотической кривой   (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к   в той же точке.
  • (Теорема Бельтрами — Эннепера) Квадрат кручения асимптотической кривой (там, где оно определено) равен модулю гауссовой кривизны поверхности  .
  • Прямолинейный отрезок на поверхности   всегда является асимптотической кривой. В частности, асимптотическими кривыми являются прямолинейные образующие поверхности.
  • На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотическая сеть является чебышёвской сетью, причем площадь четырёхугольника, образованного асимптотическими кривыми, пропорциональна избытку суммы его внутренних углов над   (формула Хаццидакиса).
  • На минимальной поверхности асимптотическая сеть является ортогональной сетью.
  • При проективном преобразовании   пространства асимптотические кривые поверхности   переходят в асимптотические кривые преобразованной поверхности  .

Уравнение для графика функцииПравить

Пусть в евклидовом пространстве с координатами   и метрикой   поверхность задана в виде графика функции  . Тогда в координатах   асимптотические линии поверхности задаются дифференциальным уравнением   Введя обозначение  , его можно переписать в виде   Дискриминант   стоящего в левой части квадратного трёхчлена (относительно переменной  ) совпадает с гессианом функции  , взятым с обратным знаком, и уравнение   задает на плоскости   кривую, состоящую из параболических точек поверхности (при условии, что один из коэффициентов   или   отличен от нуля), которая также является дискриминантной кривой данного дифференциального уравнения, не разрешённого относительно производной. В типичном случае почти во всех параболических точках это уравнение имеет нормальную форму Чибрарио, исключение составляют лишь точки, лежащие на дискриминантной кривой дискретно, в них нормальная форма уравнения более сложна. Ещё более сложную нормальную форму уравнение асимптотических линий имеет в точках, где все три коэффициента  ,  ,   обращаются в нуль одновременно, — это так называемые плоские омбилики, в которых  , т.е. все нормальные сечения поверхности имеют нулевую кривизну.

ПримерыПравить

  • Все точки однополостного гиперболоида   относятся к гиперболическому типу. Уравнение асимптотических линий в данном случае принимает вид  , где  . Как легко проверить, общее решение этого уравнения задается формулой  , где параметры   и   подчинены соотношению  . Тем самым мы получаем два семейства (соответствующих разным знакам   в формуле  ) асимптотических линий однополостного гиперболоида, совпадающих с семействами его прямолинейных образующих.
  • Асимтотические линии конуса   также совпадают с его прямолинейными образующими. Так как все точки конуса параболические, то мы имеем ровно одно семейство асимптотических линий.
  • В случае поверхности, заданной уравнением  , имеем  . Линия параболических точек ( ) делит поверхность на эллиптическую ( ) и гиперболическую ( ) области. В последней расположены два семейства асимптотических линий. Во всех параболических точках, за исключением начала координат ( ), уравнение асимптотических линий имеет нормальную форму Чибрарио, следовательно, асимптотические линии в окрестности этих точек имеют вид полукубических парабол. В начале координат сеть асимптотических линий имеет более сложную особенность, характер которой зависит от параметра  , см. статью.
  • Асимптотическими кривыми на торе, заданном параметрически в виде:
     

являются два параллели  , разделяющие гиперболические и эллиптические области и целиком состоящие из параболических точек, и бесконечное число кривых специального вида, осциллирующих между этими двумя параллелями.

  • Асимптотической кривой является ребро возврата на псевдосфере.

ЛитератураПравить

  • Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Курс дифференциальной геометрии, — Любое издание.
  • Фиников С. П. Теория поверхностей, — Любое издание.
  • Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии, — Любое издание.
  • Топоногов В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 9785891552135.