Открыть главное меню

Теорема Шварца — Кристоффеля — важная теорема в теории функций комплексного переменного, носит название немецких математиков Карла Шварца и Элвина Кристоффеля.

Очень важной с практической точки зрения является проблема о конформном отображении некой канонической области (единичного круга или верхней полуплоскости ) на внутренность произвольного многоугольника. Важность следующей теоремы в том, что она дает общий вид таких отображений.


ТеоремаПравить

Предположим, что   — некоторый  -угольник, а функция   осуществляет конформное отображение   на  . Тогда   можно представить в виде

 ,

где   — прообразы вершин   на вещественной оси,   — радианные меры соответствующих внутренних углов, деленные на   (то есть, развернутый угол соответствует нулевой степени), а   и   — так называемые акцессорные параметры. Интеграл в правой части имеет собственное название — его называют интегралом Шварца — Кристоффеля I рода.

В случае, если прообраз одной из вершин многоугольника находится в бесконечности, то формула немного видоизменяется. Если  -ая вершина имеет своим прообразом бесконечно удалённую точку, то формула будет иметь вид

 ,

то есть множитель, соответствующий этой вершине, будет просто отсутствовать. Такой интеграл будет интегралом Шварца — Кристоффеля II рода.

Трудность использования этих формул состоит в том, что точки  , как и акцессорные параметры, в общем случае неизвестны. Для их вычисления обычно на многоугольник накладываются какие-то дополнительные нормировки, либо вычисление производится приближённо (что применяется на практике).